小学数学论文：延长体验过程 渗透思想方法——“植树问题”有效教学的探索.doc

延长体验过程，渗透思想方法 “植树问题”有效教学的探索【内容摘要】“植树问题”是人教版四年级下册“数学广角”中的一个教学内容，笔者自己执教过多次，感觉难教难学，在一次杭州市农村骨干教师培训中听了“植树问题”三节公开课，发现三堂课有一些共同的不足：“间隔”、“间隔数”、三种植树问题的数量关系理解不到位；稍有变化的练习题错误较多；数学思想方法渗透不到位等。为了提高课堂教学效果，笔者进行了“植树问题”有效教学的探索与研究。通过前测，发现学生在学习“植树问题”前已经具备一定的基础，很多学生已经能解答基础的植树问题练习；其次，通过分析教材，确定了本节课的教学目标和重点：借助解决植树问题的过程，让学生经历“猜想简单例子验证发现规律应用规律解决问题”的过程，体验从简单的情况入手解决复杂的问题这一数学思想方法。最后，通过课堂教学实践，体会到在用线段图解决植树问题，在发现规律（数量关系）的过程中，应该延长学生体验知识的过程，延迟规律的总结概括，使学生能真正理解数学知识，并能灵活运用学到的知识解决类似的问题。【关键字】植树问题 体验过程 渗透思想 有效教学缘起“植树问题”是人教版四年级下册“数学广角”中的一个教学内容。笔者自己执教过多次，感觉难教难学，原因是植树问题的变式较多，学生在解决问题时，容易根据数量关系乱套公式，作业错误率高。上学期在一次杭州市农村骨干教师培训中，听了“植树问题”三节公开课，三节课相似的地方有：（一）课前谈话都想为本节课的难点作铺垫，三位执教老师分别用学生排队、“3+2” 饼干和观察手指来帮助学生理解间隔，其中一节课还在课前得出：手指数=间隔数+1；（二）采用的例题完全一样“沿着一条长20米的小路一边种树，每隔5米种一棵。一共需要种几棵？”；（三）新课展开过程基本一样，都是出示例题后要求学生把自己的思考用算式或画图等方式表示出来、集体交流、得出规律“两端都种：棵树=间隔数+1”“只种一端： 棵树=间隔数”“两端都不种：棵树=间隔数-1”。然后进行相应的练习。可是在听课的过程中，三节课不约而同出现了以下的尴尬：尴尬一：老师预设：尝试解答例题时，学生能出现三种植树情况：两端都种、只种一端、两端都不种，可实际上，学生只出现了两端都种的情况，只种一端和两端都不种，学生出不来，有一个班级一个学生这样画图：有部分学生认为这样种不行，一头（或两头）没有间隔。这部分学生认为间隔必须是两棵树之间的距离，它不符合题目中“每隔5米种一棵”的条件。 尴尬二：对于数量关系“棵树=总长间距+1”的得出，部分学生只是根据数据瞎猜，没有真正理解。学生对“间隔”、“间隔数”的理解不到位，例题里的数据“每隔5米”与问题“种5棵树”刚好一致，导致在总结数量关系时，有学生认为“种的棵树=总长棵树+1”。尴尬三：在练习时，大多数学生能独立解答最基本的习题，但是未标明种树方法时（两端都种或只种一端或两端都不种），有部分学生乱套公式；遇到变换已知条件和问题，如“已知棵树和间隔，求路的总长”、“走楼梯”“排队”问题时，会不知所措，无法解答或乱解答。思考观摩了三节公开课，结合自己以往教学植树问题的感受，我不由得发出了这样的思考：1.这样的教学是有效的吗？数学思想的渗透到位了吗？2.“植树问题” 教学目标如何定位？是把植树问题作为一个知识点进行教学，让学生学会解答这类题目？还是应该把植树问题作为一个向学生渗透数学思想方法的载体？3.情境中简单数据的引入使学生很快地发现了三种不同的种法需要的棵数，通过反馈交流，从一组数据的观察、交流就直接到数学模型的建构，呈现的数学材料是否过于单一，指向性是否太过明确？那么建构的数学模型在运用时学生是真正理解了，还是在单纯的套用呢？到底有多少学生是真正理解的？4.怎样进行教学才是有效的呢？实践 带着以上这些思考，我对“植树问题”教学进行了探索和研究。1、 教材分析 人教版四年级下册“数学广角”共安排了3个例题，一个练习，具体编排如下： 例1是一条线段一边两端都种的植树问题。例2是在例1的基础上学习一条线段的植树问题的另一种情况：两端都不栽。例3是封闭图形的植树问题。借助围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子的问题。仔细分析例1教材给出的解决问题的过程： 教材用四幅图来呈现学生探索解决问题的过程：首先一个男孩说“1005=20，所以要准备20棵树苗。”接着，一个女孩问：“对吗？”来引发思考。接下来呈现了解决问题常用的方法从简单的情况入手解决复杂的问题。这里采用的是画线段图的方式。把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共5个点，也就是载5棵树。紧接着在第三幅图里小精灵提出问题：“你能找出什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵树要比间隔数多1。最后教材要求应用发现的规律来解决前面的植树问题。【我的思考】从教材编排来看，例1的编排意图很明确：通过解决一条线段两端都种的问题，使学生经历：遇到问题时，可以先给出一个猜想，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。学生充分经历和体验这一过程可以帮助学生积累一些解决问题的常用方法和策略。回过头来思考这三节公开课的例题“沿着一条长20米的小路一边种树，每隔5米种一棵。一共需要种几棵？” 把教材中的总长“100米”改为“20米”，是有利还是有弊呢？表面看，似乎是降低难度，利于学生的自主探索，方便找出规律、建构数学模型。但是这样一改动，教学变成了只为解决这道题目，只为得出数量关系而教学，减少了学生体验的过程，不利于学生建构数学模型。从而也把教材编排的意图：渗透从简单的情况入手解决复杂的问题的思想方法抛到一边置之不理了。 根据以上的分析，我认为植树问题的教学重点应该是：借助解决植树问题的过程，让学生经历“猜想简单例子验证发现规律应用规律解决问题”的过程，体验从简单的情况入手解决复杂的问题这一数学思想方法。2、 了解学生起点 在对教材进行分析与解读后，我认为还要了解学生的起点。学生对植树问题已经有了哪些了解？有多少人会解答植树问题了？掌握的程度怎样？ 我对自己任教的四年级两个平行班进行了对比测试（其中四(2)班在测试前两天已经有老师借上一节公开课过了，四（1）班还未上过植树问题，平时两个班学生的学习成绩很接近）共8道有关植树问题的习题（见附录一）。作业情况如下：做对总题数0题1题2题3题4题5题6题7题8题四（1）班人数115111211930四（2）班人数26811136601两个班级（各53人）做对总题数在3道和4道的人最多，约占全班人数的五分之一，8题全对的只有1人，1题也不会的每班都有1、2人。做 对 人 数题号四(1)班做对人数441735217333519四(2)班做对人数33539221031319 从测试情况看，两个班的作业情况很接近，甚至四（1）班学生做得更好一些。从这里一方面可以看出四年级的学生已经有了解决植树问题的经验和能力，但学生之间的差异比较大。另一方面也可以看出，上过一节课后，学生解答植树问题的作业效果并不比没学过的好。其中作业题第、题完成得不错，超过半数的学生都能解答。第题“钟楼的大钟3时敲响3下，12秒敲完。8时敲8下，需要多长时间？”完成得最差，大部分学生都把算式列成“123=4（秒）48=32（秒）”。分析原因，敲钟的生活经验与学生要学习的数学知识（植树问题的模型）之间有距离，访谈一部分学生，他们认为敲钟敲3下，有3个间隔。用图表示如下： 。学生很难理解其实敲钟3下，只有2个间隔。其次，这题是植树问题的变式题，把两道基本的植树问题合并在同一题里，难度相对较大。【我的思考】1节 课是否有效，可以从两个维度来看，从显性方面看，学生是否能正确解答数学习题，这是有效教学的一个很重要的标志。从隐性方面看，学生是否在课堂学习过程中积累了丰富的数学活动经验，是否掌握了后续学习所必须的一些学习策略、方法及重要的数学思想方法等。从这两方面来看，四（2）班的学生在学习了一节“植树问题”的课后，在正确解答数学习题和渗透数学思想方法两方面都没有明显的收效。由此，我思考：怎样才能使教学更有效呢？另一方面，从四（1）班学生作业和访谈中发现，其中第题做对的35人中，用算式计算的有25人，算式加画图解决的有10人；第题封闭图形的植树问题做对的21人中，15人只用了算式，算式加画图解决的有6人；在问及第题算式表示的意思时，有6人对算式的意义不清楚，说不出所以然。由此，我认为尽管有部分学生能解答简单的植树问题的习题，但很多学生是借助画图（模拟种树）来解决的，有些同学虽然算式列对，但算式表示的种法并不明确。那么学生对算式理解到位了吗？假如遇到数据较大，不能直接借用一个图来帮助解决时，学生是否能想到其他策略来解决问题？根据学生的起点，本节课我们如何进行教学才能使各个层次的学生都有收获呢？我觉得对于已经能解决简单植树问题的学生，我们在课堂教学时主要要向他们渗透一种解决复杂问题的策略即化归思想；对于还不会解答的学生，我们除了渗透化归思想方法外，还要让学生通过一一对应、数形结合的思想来帮助学生真正理解数量关系，建构植树问题的模型，并能应用模型解决问题。三、课堂教学实践针对学生的起点，以及对教学目标的思考，我对“植树问题”进行了如下的设计，并进行了课堂教学：（1） 引入环节1.出示例题：学校打算在校门口到操场围墙1200米这段路的一边每隔3米种一棵树，你觉得需要种几棵树？生读题后，一小部分学生列出算式（还有一部分学生不会）：12003+1=401（棵）、12003=400（棵）、12003-1=399（棵）指着算式“12003=400”让学生说说想法。（一部分学生会说：1200米长的路，每隔3米种一棵树，就是求1200里面有几个3，就用“12003=400”）有不同的想法吗？（有部分学生会说，这样种就是只种一端，另一端不种）马上有另外的学生会说：“如果两端都种，就要加1棵，如果两端都不种，就要减少一棵。”你听明白他们的话了吗？能不能把同学说的这几种种树的方法在图中表示出来？想一想，你准备怎么画？（通过讨论得出：如果把1200米全画出来，太繁了，只要先画短一点距离，再找出规律进行了。商量后可以先画12米，每3米种一棵，看看需要几棵树） 师小结：把复杂问题变成简单的问题先研究，发现算法，总结规律后再来解决复杂问题。这是一种学数学的好方法。（板书：化繁为简）【我的思考】1. 例题里增加了一个情境“校门口到围墙”，有这个情境支撑，加上学生生活经验和理解题意的差异，会出现两端都种、只种一端和两端都不种这三种不同的种树方法，避免了老师想呈现三种不同的种树方法，而学生却出不来的尴尬。2.例题中我把路的全长设置为“1200米”，学生能较自然地想到要把数据变小再画图，然后通过找规律，来解决这道题目，为下面的探索和学习做好铺垫，能突出“化繁为简”的化归思想。3.由于很多学生在未学习本节课之前都能解答简单的植树问题的习题，因此读题后，学生根据已有的经验会凭直觉列出算式（建立一个猜想），但到底对不对？列出的算式究竟表示的是哪种种树方法？很多学生心中没底。新课主要利用猜想是否正确，需要验证来展开。这样做一方面不会无视学生的起点和经验，另一方面为找到规律，充分体验数量关系、自主建构模型打下很好的伏笔。（2） 探究环节1. 学生第一次画图。（把1200米长的小路先当做12米长，把三种种树的方法在图中表示出来）作业如下：两端都种：只种一端： 两端都不种： 2.（教师根据学生的三种情况板书线段图），然后提问：（1）为什么在同样长12米的小路一边植树，都是每隔3米种一棵，会出现三个不同的结果呢？（关键是看两端是否植树）现实生活中，什么情况下会出现只种一端或两端都不种的情况？这题属于哪种情况？（结合学生的作业纸，教师在板书好的线段图中：只种一端的线段图一端和两端不种的线段图中的两端分别加上房屋）（2）比较三种种树的方法有什么相同的地方?（相同点：总长都是12米，间隔都是3米，都分成4段）3.接着指出这节课先重点研究两端都种的这种情况。引导学生观察以下两位同学不同的画图方法（学生作业如下），比一比，这两幅图有什么相同和不同的地方？你喜欢哪一种画法？（分别画实物图和线段图） 提问：这个例子能说明两端都种，要这样“12003+1=401（棵）”计算吗？（一部分学生认为是对的；另一部分学生认为1200米是12米的100倍，因此种树的棵树也是“123+1=5（棵）” 的100倍，也即要种500棵。所以刚才的算法是错的。）教师继续提问：仅仅从这一个例子就能证明刚才“12003+1=401（棵）”是对或错的吗？继续举例验证：把全长12米增加到15米，看看需要几棵树？独立画图，能列式的请列出算式。 全班交流：（师板书线段图和算式）这里的算式153+1=6（棵）什么意思？（生可能答：153表示15米里有5个3米，就是5段，加1是两头都种，所以要加1棵）师指出：这里的5段，数学上叫“间隔数”那什么叫间隔？（理解间隔和间隔数）渗透一一对应思想：为什么要加1？（老师根据线段图，在每一段的开头贴一个红色的圆形磁铁，发现一个间隔对应一棵树，最后还要再多加一棵树，再演示先在每一段的最后先种好，最后在路的开头补上一棵）比较在15米长的小路种树的两种不同的画法。（一种画法：先画15厘米，然后3厘米一段一段量出来，一边量一边种；任意画长度，先分好5段，再种）如果把小路继续加长，全长18米、21米，需要几棵树呢？生画图后，全班交流反馈，（相应板书：线段图和算式一一对应），观察后，你发现了什么？（一般学生先说：间隔数+1=棵树，那么间隔数又是怎么求的？得出：全长间隔+1=棵树）回顾小结：通过刚才的学习，有了什么成果？是通过怎样的方式获得的？（把题变简单 画图 观察、发现规律 验证规律）【我的思考】1.关注学生的思维层次，引导学生进行两次抽象在新课探究的过程中，我们不难发现：学生第一次借助画图来帮助解决问题时，绝大部分学生会画实物图，低段在学习“倍的认识”时，如“鸡的只数是鸭的5倍”需要老师对学生指导：除了画鸡和鸭外，还可以用什么表示？使学生初步体验用线段图来表示更简洁、更方便。那么到了四年级，学生是不是都已经学会把实物图抽象成线段图了？事实证明，在学习植树问题时，还有一半到三分之一的学生还是会去画实物图。（统计学生的草稿纸，第一次画图四（1）班56人中有24人是画实物（树）的；四（2）班56人中有11人是画实物的。）因此老师在展示学生的作业时，要帮助学生进行抽象：观察实物图和线段图，这两种画法有什么相同和不同之处？你喜欢哪一种画法？虽然看似不经意地一问，但这对学生的思维发展和后续的学习还是有意义和作用的，使学生的思维从形象走向抽象。第二次画图，四（1）班只剩3人还是画实物图，四（2）班只剩1人画实物图，大部分学生的图如下：其次，在学生第二次画图（全长15米，每3米种一棵），发现学生存在差异：一部分学生是数出间隔数，他们并没有真正体验和建构：间隔数=全长间隔；而另一部分孩子已经在头脑中建构了这一数量关系，也就是15米，每3米一段，可以分几段？先想到153=5，然后再去画出线段图的，学生作业如下：a.数出间隔数（学生画出15厘米，然后用尺3厘米一段、3厘米一段，一边画，一边数）：b.算出间隔数(任意画出线段的长度，一共分5个间隔） 看似差不多的线段图，其实学生的思维是有较大的差异的，第一种画法的学生思维还处在较低的层次，老师需要帮助学生进行第二次抽象：观察这两种画法，它们有什么不同的地方？你觉得画法哪种更方便？（这时，有部分学生可能意识不到画任意长度更方便和快捷，或者意识到了，但体验不深）这时，老师不要把这种想法强加给孩子，放慢节奏，留出时间，延长学生的体验过程，让学生慢慢体会。）老师不管学生的体会如何，继续请学生画：全长18米，每3米种一棵，需要几棵？这次画，有几个学生改变了画18厘米长的线段，（四（1）班有4人从原来的数变成先算出间隔数再画，四（2）班有2人也开始改变）但有部分学生还是把18米画成18厘米，用尺量出3厘米一段，边量边数出6个间隔。这一次的效果没有第一次抽象“把实物图变为线段图”的效果那么明显。原因是第一次抽象是外在的形的抽象，学生容易观察到，也不需要动脑筋；而第二次的抽象是内在的隐性的抽象，需要学生思维的跟进，有部分学生由于有了刚才的经验，3厘米一段，3厘米一段，数出来也很方便，他们不会自觉地去更改原来的思维方式。因此通过第二次抽象学生能主动建构这一数量关系的人相对偏少。当第四次要求画全长21米，每3米种一棵，学生出现的认知冲突迫使一部分学生改变原先的画图方法（草稿纸不够画21厘米长了，怎么办？只能把全长缩短，然后学生就会思考：21米里有几个3米呢？）学生草稿如下： 2.关注学生建构模型的过程，延长体验过程 我认为在数学学习过程中，规律的得出、数量关系的总结只有学生通过一定量的体验、至少有三个以上的算式或题组的观察、计算，才有可能理解。本节课通过四次画图，两次比较画图方法的异同，并在认知冲突产生时，及时引导学生思考：不够画了，怎么办？学生才会主动思考间隔数怎么求出来？促使学生及时地从画图数数转向寻找数量关系。只有充分经历这个过程，有足够的体验，学生才有可能真正理解数量关系：全长间隔=间隔数，而这一数量关系恰是解答植树问题习题的关键。在这个学习过程中，学生的思维逐渐从具体走向一般，从形象思维向抽象逻辑思维过渡。其实平时的教学中，很多时候我们需要放慢教学节奏，延长学生的体验过程，使学生能真正理解数学知识，而不是死记硬背某些规律和数量关系。（3） 继续研究“只种一端”、“两端都不种”的情况 1.师：观察板书，如果只种一端，棵树与段数是什么关系？为什么？（学生回答后请一位学生在板书只种一端的线段图下继续补充线段图） 123=4（段）=4棵 或：153=5（段）=5棵 2.师：为什么这里不用加1？（一棵树对应一个间隔，刚好） 3.师：如果两端都不种，棵树与段数是什么关系？为什么？（同上） 3.课堂总结。本节课我们有了一些什么结论？是通过怎样的方式得到结论的？【我的思考】 由于学生已经充分体验并验证了“两端都种”可以用“全长间隔+1=棵树”的方法来求，因此，学生看着板书，就能马上得出“只种一端：每一个间隔对应一棵树，既不用加1，也不用减1，即全长间隔=棵树”。“两端都不种，棵树比间隔数少1，即全长间隔-1=棵树”。另外，在探究结束时，应该及时提炼思想方法，使学生学会对自己的学习过程进行回顾与反思，对化归思想方法进一步明晰和认识，为学生后续学习打下良好的基础。（4） 课堂练习1.基本练习(直接应用模型解决简单的实际问题，包括三种情况。学生独立完成已知总长和间距求棵数、已知棵数和间距求总长的练习）2.植树问题模型的拓展和应用（以图片的形式让孩子们了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它。如：走楼梯、锯木头、排队做操、敲钟、操场插彩旗等）反思 通过观摩课堂教学，对教材与学生分析、思考后，并亲自进行课堂教学实践，我对植树问题教学有了以下两点体会：一、准确挖掘数学思想方法，延长体验过程从以上课例，我深深体会到我们在分析解读教材时，应该准确把握编者的意图，我查阅的很多课例都是通过一个例子“20米长的小路一边，每隔5米种一棵树，要种几棵？”的解答，就来总结规律（数量关系），试想一个班级中有百分之几的学生是真正理解这个规律（数量关系）的呢？规律的得出至少需要三组或以上的算式，才能证明规律的存在，学生没有一定量的体验、观察、感悟，怎么能发现、总结规律？即使课堂上有学生发现、总结出规律，那也只是少数优秀生的答案，不能代表大多数学生的想法。何况以植树问题为例题，它也只是一个载体，借助这个载体，让学生不仅会解答植树问题，而且还要学会思考：解决植树问题的策略是什么？解题关键在哪里？把解题方法上升为数学思想，进而提高学生的数学素养，这应该是数学教学的目标所在。其次我在研读很多“植树问题”的课例，发现很多课例都只注重向学生渗透“一一对应”和“数形结合”的思想方法，但我认为，“一一对应”和“数形结合”思想只是帮助学生学会解答植树问题，对于那些不用上课也能解答植树问题的学生，这些思想是否是最重要的呢？这节课中固然可以渗透“一一对应”和“数形结合”思想，但“化归思想”应该作为本节课中一个最重要的思想来渗透，它对学生后续的发展具有更一般的作用，对学生形成解决问题的策略，提升学生的学习能力具有重要作用。因此要花足够的时间让学生体验、感悟这种思想方法，不仅在本节课中作为重点渗透，接下去学习封闭图形的植树问题，如课本例3“围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子？”也应该像本节课一样，借助解决这个问题的过程，让学生经历“猜想简单例子验证发现规律应用规律解决问题”的过程，再次体验从简单的情况入手解决复杂的问题这一数学思想方法。二、善于提炼数学思想方