北师大版选修21 第3章 §2　抛物线 学案.doc

2抛物线21抛物线及其标准方程1理解抛物线的定义及其标准方程的形式(重点)2了解抛物线的焦点、准线(重点)3掌握抛物线标准方程的四种形式，并能说出各自的特点，从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想(难点)基础初探教材整理1抛物线的定义阅读教材p71“动手实践”与“思考交流”之间的部分，完成下列问题平面内与一个定点f和一条定直线l(l不过f)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点f叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线到直线x2与定点p(2,0)的距离相等的点的轨迹是()a抛物线b双曲线c椭圆d直线【解析】点(2,0)在直线x2上，所求的点的轨迹应是一条直线【答案】d教材整理2抛物线的标准方程阅读教材p71“思考交流”以下p72“例1”以上的部分 ，完成下列问题图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy1抛物线x23y的准线方程是()aybycxdx【解析】由已知得p，又该抛物线开品向下，其准线方程为y.【答案】b2焦点坐标为(0，1)的抛物线的标准方程为_【导学号：32550073】【解析】由题意知1，开口向下，抛物线方程为x24y.【答案】x24y质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上；(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.【精彩点拨】确定p的值和抛物线的开口方向，写出标准方程【自主解答】(1)设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，过点(3,2)，42p1(3)或92p22.p1或p2.故所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时，|2|，p4，此时抛物线方程为x28y.故所求的抛物线的方程为y216x或x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为x22py(p0)或x22py(p0)且p3，抛物线标准方程为x26y或x26y.求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)再练一题1(1)过点a(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()a圆b椭圆c直线d抛物线【解析】如图，设p为满足条件的一点，不难得出结论：点p到点a的距离等于点p到y轴的距离，故点p在以点a为焦点，以y轴为准线的抛物线上，故点p的轨迹为抛物线，即所求圆心的轨迹为抛物线【答案】d(2)已知抛物线的准线方程为y.则抛物线的标准方程为_【解析】准线在y轴正半轴上且p，标准方程为x2y.【答案】x2y抛物线的焦点坐标和准线求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y24x；(2)x23y；(3)4x5y20; (4)xay2(a0)【精彩点拨】(1)(2)由抛物线方程确定开口方向及p值；(3)(4)需将方程化为标准方程，再求解【自主解答】(1)抛物线y24x的开口向右，且2p4，则p2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.(2)抛物线x23y的开口向下，且2p3，则p，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为y.(3)将抛物线方程化为标准方程y2x，可知抛物线的开口向左，且2p，则p，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为x.(4)将抛物线方程化为标准方程y2x，其焦点坐标为，准线方程为x.已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方程依据标准方程，(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(2)由一次项的系数确定2p(大于0)的值，求出p，进而得到.由此可得焦点坐标和准线方程再练一题2将本例(4)的方程改为“x2ay(a0)”，求其焦点坐标和准线方程【解】抛物线x2ay(a0)的焦点为，准线方程为y.抛物线的实际应用一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值【精彩点拨】本题主要考查抛物线知识的实际应用解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的方法解决问题【自主解答】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点b的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21.a应取13.1解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用再练一题3某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长【解】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点p(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知，ab是最长的支柱之一，点b的坐标为(2，yb)，代入x225y，得yb.|ab|43.84，即最长支柱的长为3.84米探究共研型抛物线的定义与标准方程探究1在抛物线的定义中，如果去掉条件“l不经过点f”，点的轨迹还是抛物线吗？【提示】不一定是抛物线当直线l经过点f时，点的轨迹是过定点f且垂直于定直线l的一条直线；当l不经过点f时，点的轨迹是抛物线探究2抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”，其指的是什么？【提示】一个动点，设为m；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点m到点f的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化即涉及到抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为到准线的距离；抛物线上的点到准线的距离可化为与焦点之间的距离，这样可使问题简单化探究3抛物线标准方程中的参数p的几何意义是什么？它有什么作用？【提示】(1)抛物线标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离所以参数p称为焦准距或焦参数，p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p0的情况(2)可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.探究4如何记忆抛物线的四种标准方程？【提示】(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右(3)焦点在x轴上的抛物线方程为y2mx(m0)，m0时焦点在x轴正半轴上，m0时焦点在x轴负半轴上(4)焦点在y轴上的抛物线方程为x2my(m0)，m0时焦点在y轴正半轴上，m0时焦点在y轴负半轴上平面上动点p到定点f(1,0)的距离比点p到y轴的距离大1，求动点p的轨迹方程【精彩点拨】设p(x，y)则|pf|x|1，直接化简求解或转化为距离相等，利用抛物线定义求解【自主解答】法一：设p点的坐标为(x，y)，则有|x|1.两边平方并化简得y22x2|x|.y2即点p的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)法二：由题意，动点p到定点f(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点f(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点p到点f(1,0)与到直线x1的距离相等，故点p的轨迹是以f为焦点，x1为准线的抛物线，方程为y24x.故所求动点p的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()【解析】(1)由定义知p的几何意义是焦点到准线的距离(2).(3)若定点在定直线上其轨迹是直线而不是抛物线【答案】(1)(2)(3)2抛物线y2x2的焦点坐标是()a(1,0)bc.d【解析】把y2x2化为x2y，焦点坐标为.【答案】d3若抛物线y22px上一点p(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()ay24xby26xcy28xdy210x【解析】由题意得24，p4，故抛物线的标准方程为y28x.【答案】c4抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_【导学号：32550074】【解析】把抛物线方程yax2化为标准方程x2y，2，