北师大版选修21 5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角 学案.docx

5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角学习目标1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.知识点一直线间的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角.当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点a作abl2，我们把直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2.知识点二平面间的夹角如图，平面1与2相交于直线l，点r为直线l上任意一点，过点r，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2r.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角.已知平面1和2的法向量分别为n1和n2.当0n1，n1时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当0.取n(1，1,2)，则n是平面c1de的一个法向量.向量(0,0,2)与平面cde垂直，设平面cde与c1de的夹角为.由图知所求夹角为锐角，coscosn，tan.(2)设ec1与fd1夹角为，则cos|cos，|.反思与感悟利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.跟踪训练3如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pd底面abcd，e是ab上一点，peec.已知pd，cd2，ae.(1)求证：deec；(2)求平面epc与平面dpc夹角的大小.(1)证明以d为原点，、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由已知可得d(0,0,0)，p(0,0，)，c(0,2,0).设a(x,0,0)(x0)，则有e，.由得0，即x20，故x.由0dece.(2)解作dgpc交pc于点g，可设g(0，y，z)，由0得(0，y，z)(0,2，)0，即zy，又g在pc上，即与共线，而(0，y，z)，(0,2，)，则y2z2，则g，故.作efpc于f，设f(0，m，n)，则.由0得(0,2，)0，即2m1n0.又由f在pc上得nm，故m1，n，.因，故两平面夹角的大小为向量与的夹角.故cos，即平面epc与平面dpc夹角为.1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于()a.30b.150c.30或150d.以上均错答案a2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为()a.45b.135c.45或135d.90答案a解析cosm，n，二面角的大小为45.3.在正三棱柱abc-a1b1c1中，若abbb1，则ab1与c1b所成角的大小为()a.60b.90c.105d.75答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，设bb11，则a(0,0,1)，b1，c1(0，0)，b.，10，.即ab1与c1b所成角的大小为90.4.已知点a(1,0,0)，b(0,2,0)，c(0,0,3)，则平面abc与平面xoy夹角的余弦值为_.答案解析(1,2,0)，(1,0,3).设平面abc的法向量为n(x，y，z).由n0，n0知令x2，则y1，z.平面abc的一个法向量为n(2,1，).平面xoy的一个法向量为(0,0,3).由此易求出两平面的夹角的余弦值为.5.在长方体abcda1b1c1d1中，已知dadc4，dd13，则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为_.答案解析如图，建立空间直角坐标系.由已知得a1(4,0,0)，b(4,4,3)，b1(4，4,0)，c(0,4,3).(0,4,3)，(4,0,3)，cos，.利用空间向量