北师大版选修21 3.3空间向量运算的坐标表示 学案.docx

3.3空间向量运算的坐标表示学习目标1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3 (r)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b.知识点三空间两点间的距离已知点a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则a，b两点间的距离dab|.思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？(2)已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，且b1b2b30，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？答案(1)空间向量的坐标运算多了个竖坐标.(2)ab.题型一空间直角坐标系与空间向量的坐标表示例1设o为坐标原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，求点q的坐标.解设，(1,2,3)(1,1,2)(1，2，32)，(2,1,2)(1,1,2)(2，1，22)，则(1，2，32)(2，1，22)(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610，当时，取得最小值.又(1,1,2).所以，所求点q的坐标为.反思与感悟(1)建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为最佳选择.(2)向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.跟踪训练1设正四棱锥s-p1p2p3p4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求、的坐标.解如图所示，建立空间直角坐标系，其中o为底面正方形的中心，p1p2oy轴，p1p4ox轴，so在oz轴上.p1p22，而p1、p2、p3、p4均在xoy平面上，p1(1,1,0)，p2(1,1,0).在xoy平面内，p3与p1关于原点o对称，p4与p2关于原点o对称，p3(1，1,0)，p4(1，1,0).又sp12，op1，在rtsop1中，so，s(0,0，).(1,1，)，(0，2,0).题型二向量的平行与垂直例2如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点.求证：(1)am平面bde；(2)am平面bdf.证明(1)如图，建立空间直角坐标系，设acbdn，连接ne，则点n，e的坐标分别为(，0)，(0,0,1).(，1).又点a，m的坐标分别是(，0)，(，1)，(，1).又ne与am不共线，neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(2)由(1)知(，1).d(，0,0)，f(，1)，(0，1)，0，.同理，.又dfbff，且df平面bdf，bf平面bdf，am平面bdf.反思与感悟解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.跟踪训练2在正三棱锥pabc中，三条侧棱两两互相垂直，g是pab的重心，e，f分别为bc，pb上的点，且beecpffb12.求证：(1)平面gefpbc；(2)egbc，pgeg.证明(1)如图，以三棱锥的顶点p为原点，pa，pb，pc所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，令papbpc3，则a(3，0,0)，b(0,3,0)，c(0,0,3)，e(0，2,1)，f(0,1,0)，g(1,1,0)，p(0，0,0).于是(3,0,0)，(1,0,0)，故3，pafg.又pa平面pbc，fg平面pbc，又fg平面gef，平面gef平面pbc.(2)(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)，110，330，egpg，egbc.题型三夹角与距离的计算例3如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，cacb1，bca90，棱aa12，m，n分别为a1b1，a1a的中点.(1)求bn的长；(2)求a1b与b1c所成角的余弦值；(3)求证：bn平面c1mn.(1)解如图所示，建立空间直角坐标系cxyz.依题意得b(0,1,0)，n(1,0,1)，|，线段bn的长为.(2)解依题意得a1(1,0,2)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故a1b与b1c所成角的余弦值为.(3)证明依题意得a1(1,0,2)，c1(0,0,2)，b(0,1,0)，n(1,0,1)，m(，2)，(，0)，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，bnc1m，bnc1n，又c1mc1nc1，c1m平面c1mn，c1n平面c1mn，bn平面c1mn.反思与感悟在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.跟踪训练3已知正三棱柱abca1b1c1，底面边长ab2，ab1bc1，点o，o1分别是边ac，a1c1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长.(2)m为bc1的中点，试用基向量，表示向量.(3)求异面直线ab1与bc所成角的余弦值.解(1)设侧棱长为b，则a(0，1,0)，b1(，0，b)，b(，0,0)，c1(0,1，b)，所以(，1，b)，(，1，b).因为ab1bc1，所以(，1，b)(，1，b)()212b20，解得b.(2)因为m为bc1的中点，所以()().(3)由(1)知(，1，)，(，1,0)，因为|，|2，(，1，)(，1,0)()2112，所以cos，.所以异面直线ab1与bc所成角的余弦值为.1.已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为()a.0b.45c.90d.180答案c解析cosa，b0，a，b0，180.a，b90.2.设a(3,3,1)，b(1,0,5)，c(0,1,0)，则ab的中点m到c的距离cm的值为()a.b.c.d.答案c解析ab中点m(2，3)，又c(0,1,0)，所以(2，3)，故m到c的距离为cm|.3.设o为坐标原点，m(5，1,2)，a(4,2，1)，若，则点b应为()a.(1,3，3) b.(9,1,1)c.(1，3,3) d.(9，1，1)答案b解析设b(x，y，z)，由得(5，1,2)(x4，y2，z1)，4.若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)(2b)2，则x的值为()a.2b.2c.0d.1答案a解析ca(1,1,1)(1,1，x)(0,0,1x)，2b(2,4,2).2(1x)2，x2.5.已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t