北师大版选修21 2.3.2 空间向量基本定理 作业.docx

3.2空间向量基本定理1.已知向量a,b,c是空间的一个基底,从a,b,c中选一个向量,一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一个基底的是()a.ab.bc.cd.不存在解析:因为a,b,c为一个基底,所以若想p,q与另外一个向量构成一个基底,则另外一个向量必含有c.答案:c2.am是abc中bc边上的中线,设ab=e1,ac=e2,则am为()a.e1+e2b.12e1-12e2c.e1-e2d.12e1+12e2答案:d3.设o-abc是四面体,g1是abc的重心,g是og1上的一点,且og=3gg1,若og=xoa+yob+zoc,则x,y,z分别为()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d.23,23,23解析:og=34og1=34(oa+ag1)=34oa+342312(ab+ac)=34oa+14(ob-oa)+(oc-oa)=14oa+14ob+14oc,x=14,y=14,z=14.答案:a4.已知o,a,b,c为空间四个点,又oa,ob,oc为空间的一个基底,则()a.o,a,b,c四点共线b.o,a,b,c四点共面c.o,a,b,c四点中任意三点不共线d.o,a,b,c四点不共面答案:d5.如图所示,已知空间四边形oabc,其对角线为ob,ac,m,n分别是oa,cb的中点,点g在线段mn上,且使mg=2gn,则og等于()a.16oa+13ob+13ocb.16oa+13ob+23occ.oa+23ob+23ocd.12oa+23ob+23oc解析:og=om+mg=om+23mn=16oa+13ob+13oc.答案:a6.给出下列命题:若ab,则a(b+c)+c(b-a)=bc;a,b,m,n为空间四点,若bm,bn,ba不能构成空间的一个基底,则a,b,m,n四点共面;若向量ab,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底;若a,b,c是空间的一个基底,则基向量a和b可以与向量m=a+c构成另一个基底.其中正确的有()a.1个b.2个c.3个d.4个解析:对于,a(b+c)+c(b-a)=ab+ac+cb-ca=cb,所以正确;对于,因为bm,bn,ba共面,所以a,b,m,n四点共面,即正确;不正确;对于,因为a,b,m不共面,所以正确.答案:c7.已知a,b,p三点共线,o为空间任意一点,op=oa+ob,则+=.答案:18.已知o是空间任意一点,a,b,c,d四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且oa=2xbo+3yco+4zdo,则2x+3y+4z=.解析:a,b,c,d四点共面的充要条件是oa=ob+oc+od,且+=1,则有-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.答案:-19.已知在四面体abcd中,ab=a-2c,cd=5a+6b-8c,棱ac,bd的中点分别为e,f,则ef=.解析:如图所示,取bc的中点g,连接eg,fg,则ef=gf-ge=12cd-12ba=12cd+12ab=12(5a+6b-8c)+12(a-2c)=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c10.如图所示,已知平行六面体abcd-abcd,点e在ac上,且aeec=12,点f,g分别是bd和bd的中点,求下列各式中x,y,z的值.(1)ae=xaa+yab+zad;(2)bf=xbb+yba+zbc;(3)gf=xbb+yba+zbc.解(1)aeec=12,ae=13ac=13(ab+bc+cc)=13(ab+ad+aa),ae=13aa+13ab+13ad,x=y=z=13.(2)f是bd的中点,bf=12(bb+bd)=12(bb+ba+aa+ad)=12(2bb+ba+bc)=bb+12ba+12bc,x=1,y=z=12.(3)f,g分别是bd和bd的中点,gf=12bb,x=12,y=z=0.11.已知e1,e2,e3是空间的一个基底,且oa=e1+2e2-e3,ob=-3e1+e2+2e3,oc=e1+e2-e3,试判断oa,ob,oc能否作为空间的一个基底.若能,试以此基底表示向量od=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.解能.假设oa,ob,oc共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使oa=xob+yoc成立,e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.e1,e2,e3是空间的一个基底,e1,e2,e3不共面,-3x+y=1,x+y=2,2x-y=-1,此方程组无解,则不存在实数x,y,使oa=xob+yoc,oa,ob,oc不共面.故oa,ob,oc能作为空间的一个基底.设od=poa+qob+zoc,则有2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3.e1,e2,e3为空间的一个基底,p-3q+z=2,2p+q+z=-1,-p+2q-z=3,解得p=17,q=-5,z=-30,od=17oa-5ob-30oc.12.如图所示,已知平行六面体abcd-a1b1c1d1的底面abcd是菱形,且c1cb=c1cd=bcd.(1)求证:cc1bd.(2)当cdcc1的值为多少时,能使a1c平面c1bd?请给出证明.(1)证明设cd=a,cb=b,cc1=c.由题意得|a|=|b|,bd=cd-cb=a-b.因为cd,cb,cc1两两夹角的大小相等,设为,所以cc1bd=c(a-b)=ca-cb=|c|a|cos -|c|b|cos =0,所以cc1bd.(2)解要使a1c平面c1bd,只需a1cbd,a1cdc1.由ca1c1d=(ca+aa1)(cd-cc1)=(a+b+c)(a-c)=|a|2-ac+ab-bc+