北师大版选修21 第二章§2　空间向量的运算(一) 学案.doc

2空间向量的运算(一)学习目标1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理知识点一空间向量的加减法及运算律思考下面给出了两个空间向量a，b，如何作出ba，ba?答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点o为起点作a，b，则ab，ba.梳理类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab，ab知识点二空间向量的数乘运算及运算律定义与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义0a与向量a的方向相同a的长度是a的长度的|倍0a与向量a的方向相反0a0，其方向是任意的运算律分配律(ab)ab结合律(a)()a注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ab.1若ab0，则ab0.()2设r，若ab，则a与b共线()3.()4直线l的方向向量为a，若a平面，则l平面.()类型一空间向量的加减运算例1如图，已知长方体abcdabcd，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解(1).(2)().向量，如图所示引申探究利用本例题图，化简.解结合加法运算，0.故0.反思与感悟(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，0.跟踪训练1在如图所示的平行六面体中，求证：2.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2()又，.2.类型二共线问题例2(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()aa，b，dba，b，ccb，c，dda，c，d(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且a，b，d三点共线，实数k_.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)a(2)1解析(1)因为3a6b3(a2b)3，故，又与有公共点a，所以a，b，d三点共线(2)因为7e1(k6)e2，且与共线，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共线，解得故k的值为1.反思与感悟(1)判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：()若ab，b0，则存在唯一实数使ab；()若存在唯一实数，使ab，b0，则ab.判断向量共线的关键：找到实数.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点p，a，b可通过证明下列结论来证明三点共线存在实数，使成立对空间任一点o，有t(tr)对空间任一点o，有xy(xy1)跟踪训练2如图所示，在空间四边形abcd中，点e，f分别是ab，cd的中点，请判断向量与是否共线？考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断解设ac的中点为g，连接eg，fg，又，共面，()，与共线类型三空间向量的数乘运算及应用例3如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“p是c1d1的中点”改为“p在线段c1d1上，且”，其他条件不变，如何表示？解acb.反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e在a1d1上，且2，f在对角线a1c上，且.求证：e，f，b三点共线考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明设a，b，c.因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因为与有公共点e，所以e，f，b三点共线1.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，下列各式中运算的结果为的共有()()；()；()；().a1个b2个c3个d4个考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案d解析()；()；()；()，故选d.2设有四边形abcd，o为空间任意一点，且，则四边形abcd是()a平行四边形b空间四边形c等腰梯形d矩形考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案a解析由，得，故四边形abcd为平行四边形，故选a.3下列条件，能说明空间不重合的a，b，c三点共线的是()a.b.c.d|考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案c解析由知与共线，又因有一共同的点b，故a，b，c三点共线4若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1e2与e12(k1)e2共线的k的值为_考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案解析若2ke1e2与e12(k1)e2共线，则2ke1e2e12(k1)e2，k.5化简2233_.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案0解析223322220.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果(2)证明(或判断)三点a，b，c共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点o，有t(1t)”来证明三点a，b，c共线一、选择题1化简所得的结果是()a.b.c0d.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案c解析0，故选c.2空间任意四个点a，b，c，d，则等于()a.b.c.d.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案d3已知空间四边形abcd，连接ac，bd，设g是cd的中点，则()等于()a.b.c.d.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案a解析如图，因为2，所以().4在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()aabcb.abcc.abcdabc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案a解析()c(ab)abc.5如图所示，在四面体abcd中，点e是cd的中点，记a，b，c，则等于()aabcbabccabcdabc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案b解析连接ae(图略)，e是cd的中点，b，c，()(bc)在abe中，又a，a(bc)abc.6设点m是abc的重心，记a，b，c，且abc0，则等于()a.b.c.d.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案d解析设d是bc边的中点，m是abc的重心，.而()(cb)，(cb)7设空间四点o，a，b，p满足mn，其中mn1，则()a点p一定在直线ab上b点p一定不在直线ab上c点p可能在直线ab上，也可能不在直线ab上d与的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案a解析已知mn1，则m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因为0，所以和共线，又ap和ab有公共点a，所以点a，p，b共线，故选a.二、填空题8在正方体abcda1b1c1d1中，化简的结果是_考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案2解析2.9在空间四边形abcd中，连接bd，若bcd是正三角形，且e为其中心，则的化简结果为_考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案0解析连接de并延长交bc于点f，连接af(图略)，则，0.10若g为abc内一点，且满足0，则g为abc的_(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案重心解析因为，所以ag所在直线的延长线为边bc上的中线，同理，得bg所在直线的延长线为ac边上的中线，故g为其重心11已知点m在平面abc内，并且对空间任意一点o，有x，则x的值为_考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案解析x，且m，a，b，c四点共面，x1，x.三、解答题12如图，已知矩形abcd和矩形adef所在的平面互相垂直，点m，n分别在对角线bd，ae上，且bmbd，anae.求证：mn平面cde.考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用证明因为m在bd上，且bmbd，所以.同理.所以.又与不共线，根据共面向量定理可知，共面因为mn不在平面cde内，所以mn平面cde.四、探究与拓展13已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|3，|b|2，|c|1，则|abc|_.答案214设e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如