北师大版选修21 3.2.1.2 抛物线及其标准方程习题课 作业.docx

第2课时抛物线及其标准方程习题课1.若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹是()a.直线b.抛物线c.线段d.椭圆解析:设动圆的半径为r,动圆圆心为o(x,y),则o到点(2,0)的距离为r+1,o到直线x+1=0即到直线x=-1的距离为r,所以o到点(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等.由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹为抛物线.故选b.答案:b2.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.34b.1c.54d.74解析:由y2=x,可知p2=14,又|af|+|bf|=3,可知点a到y轴的距离与点b到y轴的距离之和为|af|+|bf|-2p2=3-12=52,再利用梯形中位线定理,可以求出线段ab的中点到y轴的距离为54.答案:c3.已知直线l经过抛物线y2=2px(p0)的焦点f,且与抛物线交于p,q两点,由p,q分别向准线引垂线pk,qs,垂足分别为k,s,如果|pf|=a,|qf|=b,m为ks的中点,则|mf|的值为()a.a+bb.12(a+b)c.abd.ab答案:d4.已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点,则点p到点m(0,2)的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()a.172b.3c.5d.92解析:如图所示,由抛物线的定义知,点p到准线x=-12的距离d等于点p到焦点的距离|pf|,因此点p到点m(0,2)的距离与点p到准线的距离之和可转化为点p到点m(0,2)的距离与点p到点f的距离之和,其最小值为点m(0,2)到点f12,0的距离,则距离之和的最小值为4+14=172.答案:a5.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是()a.x2=-256yb.x2=-2512yc.x2=-365yd.x2=-2524y答案:a6.设f为抛物线y2=16x的焦点,a,b,c为该抛物线上三点,若fa+fb+fc=0,则|fa|+|fb|+|fc|的值为()a.36b.24c.16d.12解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),则fa+fb+fc=(x1-4,y1)+(x2-4,y2)+(x3-4,y3)=0,由此得x1+x2+x3=12,|fa|+|fb|+|fc|=(x1+4)+(x2+4)+(x3+4)=(x1+x2+x3)+12=24.答案:b7.已知m为抛物线y2=4x上一动点,f为抛物线的焦点,定点n(2,3),则|mn|+|mf|的最小值为.解析:将x=2代入抛物线方程,得y=22.322,点n在抛物线的外部.|mn|+|mf|nf|=10,n,m,f三点共线时有最小值,最小值为10.答案:108.动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点p的轨迹方程为.解析:由抛物线定义知,点p的轨迹是以点f(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,则其方程为y2=8x.答案:y2=8x9.设p是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点p到点a(-1,1)的距离与点p到直线x=-1距离之和的最小值;(2)若b(3,2),求|pb|+|pf|的最小值.解(1)抛物线的焦点为f(1,0),准线方程为x=-1.点p到准线x=-1的距离等于点p到点f(1,0)的距离,问题转化为:在曲线上求一点p,使点p到a(-1,1)的距离与点p到点f(1,0)的距离之和最小.显然p是a,f的连线与抛物线的交点时两距离之和最小(如图所示),最小值为|af|=5.(2)同理,|pf|与点p到准线的距离相等.如图所示,过点b作bq准线l于点q,交抛物线于点p1.|p1q|=|p1f|,|pb|+|pf|p1b|+|p1q|=|bq|=4.|pb|+|pf|的最小值为4.10.一种卫星接收天线如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口(直径)为4.8 m,深度为0.5 m.建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.解如图所示,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.设抛物线的标准方程是y2=2px(p0),由已知条件可得点a的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得2.42=2p0.5,即p=5.76.所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52x,焦点的坐标是(2.88,0).11.抛物线y2=4x上有两个定点a,b分别在对称轴的上下两侧,f为抛物线的焦点,并且|fa|=2,|fb|=5,在抛物线aob这段曲线上求一点p,使pab的面积最大,并求这个最大面积.解由已知条件得f(1,0),不妨设点a在x轴上方且坐标为(x1,y1).由|fa|=2,得x1+1=2,x1=1,所以a(1,2).同理可得b(4,-4).由两点坐标得直线ab的方程为2x+y-4=0.设抛物线aob这段曲线上任一点p(x0,y0),且0x04,-4y02,则点p到直线a