与几何有关的排列组合体的解法.doc

与几何有关的排列组合题的解法 排列组合是高考的必考内容，而与几何有关的排列组合题在历年的高考中也经常出现，此类题的常用解法主要有以下几种：一. 总体淘汰法 先在弱化条件下算出总数，再严格筛选，把少数不合条件的除去。 例1. （1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_个。 解：从7个点中任取3个点，（不管是否可组成三角形）其取法有种，在这些取法中三点共线的情况有3种，所以共有三角形个。 例2. （2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有_种。 分析：此题正面思考情形较多，从反面思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。 解：6个面中取3个共有个，其中3个面两两相邻只有在共顶点时才出现，共有8个，故所有不同选法有个。二. 利用已有的数学模型 例3. 在某个城市中M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从M到N处要使路程最近，则共有多少种走法？ 分析：把前图的方格看成一张地图，每个小矩形的边当成一步，则从M到N至少要走6步，其中必须向北走2步、向东走4步。我们看如下的模型：将所走的6步用6张卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2张写有“北”字的卡片和4张写有“东”字的卡片分别放入6个小盒子中，每个盒子里放一张，每一种放法对应着一种走法。如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M处向东走3步，再向北走2步，然后向东走一步到N”。在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张“东”（或“北”）即可，放法有种或种（卡片上只要字同则认为无区别）。 推广：将上例中的个方格推广到个方格，这时从M到N的最短路程的走法是：。三. 特征分析法 抓住几何图形的某一特征，寻找突破口。 例4. 圆周上有20个不同的点，过任意2点联结成一条弦，这些弦在圆内的交点最多只能有_个。 分析：圆上20个点相互联结所产生的弦是相当多的，从这些弦中任取两条，则有些有交点，有些无交点，有些交点可能重合了，解此题的关键是抓住其本质特征进行分析，如果圆内某点是两弦的交点，则此两弦与圆有四个交点，联结这四点则得到一圆内接四边形，反之，从圆上任取四点组成圆内接四边形，这个四边形的两对角线有且只有一个交点，若不考虑某些交点重合，则交点最多可有个。 例5. （2004年安徽省春招卷理9）直角坐标系平面上，平行直线，与平行直线组成的图形中矩形共有（ ） A. 25个B. 36个 C. 100个D. 225个 解：6横6纵的12条直线垂直相交共有36个点，在这36个点中任取2个点连成线段，则以这条线段为对角线的矩形最多有一个，当这两点处在同一直线上时，则不能成为矩形的对角线。又因矩形有两条对角线，所以在利用对角线确定的这些矩形中，有一半是重复计数。故矩形总数有个。 注：例4的特征是圆上四点的连线最多有一个交点，例5的特征是用对角线确定矩形，其实在电脑绘图中早已使用了用对角线确定矩形的方法。例析立体几何中的排列组合问题春晖中学 过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了考试大纲要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点11 共面的点例1（1997年全国高考（文） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ） A30种 B33种 C36种 D39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。所以与点A共面的四点组合共有个。答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。12 不共面的点例2（1997年全国高考（理） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A150种 B147种 C144种 D141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2 直线例3（2005年全国高考卷（理） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A18对 B24对 C30对 D36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线；例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数两遍。共有。 法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构成四面体的个数为：故共有异面直线。答案：D点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面例4. 、是两个平行平面，在内取4个点，在内取5个点，这9个点最多能确定多少个平面？解析：不共线的三点可确定一个平面,所以共确定 C4取2 * C5取1 + C5取2 * C4取1=70加上原本两个平面 共72个例5（2002年全国高考） 从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ）A8种 B12种 C16种 D20种解析：先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。正方体共有6个面，因此共有4624种选法。但是不相邻是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2.所以最终共有选法为24/212种。法二：从正方体的六个面中任意选三个面共有20种。其中过同一丁点的三个面的可能有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种法三：正方体的六个面中有三组两个不相邻的面，每组再有4种选法。则在一个正方体的六个面中选三个面其中有两个不相邻有3*4=12种选法。4 模型41 平面多边形例6（2004年高考湖南卷） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）A56 B52 C48 D40解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。以B为直角顶点的三角形有：,共6个，故正方体中共有。答案：C点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。42 空间多面体例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有_。解析：根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63-8=12种；故选B。点评：本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力5 其它例8（2005年高考江苏卷） 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A96 B48 C24 D0解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个仓库中，计种。从而安全存放的不同放法种数为（种）答案：B点评本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数，例谈立体几何中的排列组合概率问题在近几年的高考试题中，出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，往往作为高考选择填空题的压轴题。它不仅考查了相关的基础知识，而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查。一、共面问题：分类讨论例1. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个解析：平面可以分为两类：一类是在平面的两侧各有两个点；另一类是在平面的两侧分别有一个点和三个点。如图1，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面也满足题意，这样的平面有3个。故适合题设的平面共有7个，应选D。图1 图2 图3例2. 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（ ）种。A. 40 B. 48 C. 56 D. 62解析：如图2，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。故不同的取法共有（种）。点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。练习：1、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A150种 B147种 C144种 D141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想2、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ） A30种 B33种 C36种 D39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。所以与点A共面的四点组合共有个。答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。二、异面问题：灵活转化例3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。故选D。点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。例4. 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为的四个仓库，用来存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（ ）A. 96 B. 48 C. 24 D. 0解析：如图3，分别用18标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下（其实就是异面直线配对）：则8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法总数为（种），应选B。点评：这道实际应用题用四棱锥的8条棱的关系来研究化工产品的存放种数，体现了数学建模的思想。同学们在解决问题时，首先要将问题转化为四棱锥的8条棱之间的排列组合情况，然后再把四棱锥的8条棱分成4对异面直线。三、综合问题：化整为零，各个击破例5. 以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为（）A. B. C. D. 解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的8个顶点可组成多少个三角形？可组成（个）三角形。（2）平行六面体的8个顶点中，4点共面的情形共有多少种？平行六面体的6个面加上6个对角面，共12个平面。（3）在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个？有（个）（4）从56个三角形中任取2个三角形共面的概率P等于多少？（5）从56个三角形中任取2个三角形不共面的概率P等于多少？利用求对立事件概率的公式，得。故选A。点评：这道题以立体几何熟知内容为载体，构思巧妙，综合考查立体几何、排列组合、概率等基础知识，深入考查同学们的数学思维能力。本题的得分率较低，同学们的主要失误表现在以下两方面：（1）面对一个复杂的问题，缺乏明确的解题目标意识，不善于将其分解为若干个子问题；（2）漏掉平行六面体的6个对角面也是4点共面的情形，造成所求概率，故选B。用数学模型巧解排列组合问题河北省馆陶一中 孙书刚一、构建方程模型例1 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解：设表示上一级台阶的步数，表示上两级台阶的步数，则 。当时，于是用6步走完10级台阶的方法为种；同理，当，4，6，8，10时，的取值分别为5，3，2，1，0，则上台阶的方法分别为，种。所以上台阶的方法共有+种。点评：构建方程模型的关键是找到等量关系，正确列出方程。二、构建立体几何模型例2 如图1中A，B，C，D为海上四个岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20