北师大版选修22 1.2　函数的极值 课时作业.docx

1.2函数的极值第1课时函数的极值1.已知函数y=f(x)=x3-3x+2的极大值为m,极小值为n,则m+n为()a.0b.1c.2d.4解析:令y=3x2-3=0,得x=1或x=-1,经分析知f(-1)为函数y=x3-3x+2的极大值,f(1)为函数y=x3-3x+2的极小值,故m+n=f(-1)+f(1)=4.答案:d z 2.设ar,若函数y=ex+ax(xr)有大于零的极值点,则()a.a-1c.a-1e解析:y=ex+ax,y=ex+a, 学 z 令y=ex+a=0,则ex=-a.即x=ln(-a). x0,-a1,即a-1. z答案:a3.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则有()a.a=-2,b=4b.a=-3,b=-24 学, , z,x,x,kc.a=1,b=3d.a=2,b=-4解析:f(x)=3x2+2ax+b,依题意有x=-2和x=4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-2a3=-2+4,b3=-24,解得a=-3,b=-24.经检验a=-3,b=-24符合题意.答案:b 学 4.若函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值但没有极大值,则实数a的取值范围是()a.(0,3)b.(-,3)c.(0,+)d.0,32解析:f(x)=3x2-2a,f(x)在(0,1)内有极小值但没有极大值,f(0)0-2a0,解得0a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值是()a.2b.3c.6d.9解析:f(x)=12x2-2ax-2b.f(x)在x=1处有极值,f(1)=12-2a-2b=0,a+b=6.a0,b0,a+b2ab,2ab6,ab9,当且仅当a=b=3时等号成立. 学 答案:d6.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的递增区间是.答案:(-,2),(3,+)7.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a=.解析:f(x)=x2+ax+1=(x2+a)(x+1)-(x2+a)(x+1)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2,又函数f(x)在x=1处取得极值,f(1)=0.1+21-a=0,a=3.验证知a=3符合题意.答案:38.已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. 学 (1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)内至少有一个极值点,求a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1,f(x)=3(x-2+3)(x-2-3).当x(-,2-3)时,f(x)0,f(x)在(-,2-3)上是增加的;当x(2-3,2+3)时,f(x)0,f(x)在(2+3,+)上是增加的.综上所述,f(x)的递增区间为(-,2-3)和(2+3,+),f(x)的递减区间为(2-3,2+3).(2)f(x)=3(x-a)2+1-a2.当1-a20时,f(x)0,f(x)在(2,3)上是增加的,故f(x)无极值点;当1-a20时,f(x)=0有两个根x1=a-a2-1,x2=a+a2-1.由题意,知2a-a2-13, z或2a+a2-13,无解,的解为54a0),且f(x)-9x=0的两根分别为1,4.(1)当a=3,且y=f(x)的图像过原点时,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.解(1)由f(x)=a3x3+bx2+cx+d,得f(x)=ax2+2bx+c. 学 f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4,a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,a=3,a=3,b=-3,c=12.又f(x)=a3x3+bx2+cx+d的图像过原点,d=0,f(x)=x3-3x2+12x.(2)a0,f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点等价于f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立.由(1)知a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,2b=9-5a,c=4a.f(x)0在(-,+)内恒成立,=(2b)2-4ac=(9-5a)2-16a2=9(a-1)(a-9)0,解得1a9.故a的取值范围为1,9.10.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(xr),其中ar.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)当a23时,求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f(x)=(x2+2x)ex,f(1)=3e.曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f(x)=x2+(a+2)x-2a2+4aex.令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a23,得-2aa-2.以下分两种情况讨论:若a23,则-2aa-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2a)-2a 学 (-2a,a-2) 学 a-2(a-2,+) 学 z f(x)+0-0+f(x) z极大值极小值由表可知,f(x)在(-,-2a),(a-2,+)上是增加的,在(-2a,a-2)上是减少的.故函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 学 若aa-2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 学 x(-,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+)f(x)+0-0+f(x) 学 极大值极小值由表可知,f(x)