北师大版选修22 计算导数 课时作业.docx

3计算导数1.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()a.4x-y-3=0b.x+4y-5=0c.4x-y+3=0d.x+4y+3=0解析:由题意知,直线l的斜率为4,且y=4x3,令4x3=4,得x=1,即切点坐标为(1,1).故过该点的切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.故选a.答案:a2.已知f(x)=x,若f(-1)=-4,则的值为()a.4b.-4c.5d.-5解析:将选项中的值分别代入已知进行检验,只有选项a适合.答案:a 学 3.已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f(x)g(x),则()a.x23c.0x23d.x23解析:f(x)=x2,g(x)=x3,且f(x)g(x),2x0,x(3x-2)0,x23.答案:d4.已知f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),则f2 0153=()a.-32b.32c.-12d.12解析:由已知,得f1(x)=(sin x)=cos x,f2(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=(-cos x)=sin x,可得fi(x)=fi+4(x),i=0,1,2,3,.故f2 0153=f33=-cos3=-12.答案:c5.若直线y=12x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b=.解析:由y=ln x,得y=1x,令1x=12,得x=2,故切点坐标为(2,ln 2),代入直线方程,得ln 2=122+b,所以b=ln 2-1. 学 答案:ln 2-16.函数f(x)=xxx的导数是.解析:f(x)=x74=x78,f(x)=78x-18.答案:f(x)=78x-187.如果过原点作曲线y=ex的切线,那么切点的坐标为,切线的斜率为.解析:(ex)=ex,设切点坐标为(x0,ex0),则过该点的直线的斜率为ex0,故所求切线方程为y-ex0=ex0(x-x0).切线过原点,-ex0=-x0ex0,解得x0=1,切点坐标为(1,e),斜率为e.答案:(1,e)e8.给出下列命题,其中正确的命题是.(只填序号)任何常数函数的导数都是零; 直线y=x上任意一点处的切线方程是这条直线方程本身;双曲线y=1x上任意一点处的切线斜率都是负值;直线y=2x和抛物线y=x2在区间(0,+)上,函数值的增长速度一样快.答案:9.求下列函数的导数:(1)y=xx;(2)y=1x4;(3)y=5x3;(4)y=log2x2-log2x;(5)y=-2sin x21-2cos2x4. 学 解(1)y=(xx)=(x32)=32x32-1=32x.(2)y=1x4=(x-4)=-4x-4-1=-4x-5=-4x5.(3)y=(5x3)=(x35)=35x35-1=35x-25=355x2=35x35x.(4)y=log2x2-log2x=2log2x-log2x=log2x,y=(log2x)=1xln2.(5)y=-2sinx21-2cos2x4=2sinx22cos2x4-1=2sinx2cosx2=sin x, 学 y=(sin x)=cos x.10.求证:双曲线y=1x上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数.证明由y=1x,得y=-1x2.在双曲线y=1x上任取一点px0,1x0,则过点p的切线斜率k=-1x02,切线方程为y-1x0=-1x02(x-x0),即y=-1x02x+2x0.设该切线与x轴、y轴分别相交于a,b两点,则a(2x0,0),b0,2x0.故soab=12|oa|ob|=12|2x0|2x0=2.所以双曲线y=1x上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数.11.讨论关于x的方程ln x=kx的解的个数.解方程ln x=kx的解的个数就是直线y=kx与曲线y=ln x交点的个数.设直线y=kx与y=ln x相切,如图所示,设切点坐标为p(x0,ln x0),则ln x0=kx0.(ln x)=1x,1x0=k,即kx0