北师大版选修22 2.4导数的四则运算法则 学案1 (1).doc

高手支招3综合探究反函数的求导法则及其证明如果函数x=(y)在某区间iy内单调、可导且(y)0，则其反函数y=f(x)在对应区间i=xx=(y),yiy内也可导且f(x)=.证明：由于x=(y)在区间iy内单调、可导，x=(y)的反函数y=f(x)在对应区间i=xx=(y),yiy内也是单调的.任取xix，给x以增量x(x0,x+xix).由y=f(x)的单调性可知：y=f(x+x)-f(x)0，于是有：=.x=(y)可导，当y0时，x0.若x0时，yd/0,则,由=可知0,这与(y)0矛盾，x0时，y0.从而：=，上述结论可以简单地说成：反函数的导数等于原来函数导数的倒数.高手支招4典例精析【例1】求下列函数的导数.（1）y=x4-3x2-5x+6；（2）y=xtanx;（3）y=(x+1)(x+2)(x+3);（4）y=.思路分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不满足求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.解：（1）y=(x4-3x2-5x+6)=(x4)-3(x2)-5x+(6)=4x3-6x-5.（2）y=(xtanx)=()=.（3）解法一：y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.解法二：y=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.（4）解法一：y=()=.解法二：y=1-,y=(1-)=(-)=【例2】利用导数求和.（1）sn=1+2x+3x2+nxn-1,(x0,nn*)（2）sn=+2+3+n,(nn*)思路分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决.转换思维角度，由求导公式(xn)=nxn-1，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快.解：（1）当x=1时，sn=1+2+3+n=n(n+1);当x1时，x+x2+x3+xn=,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+xn)=()，即sn=1+2x+3x2+nxn-1=.（2）(1+x)n=1+x+x2+xn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n-1=+2x+3x2+nxn-1,令x=1，得n2n-1=+2+3+n，即sn=+2+3+n=n2n-1.【例3】f(x)是f(x)=x3+2x+1的导函数，则f(-1)的值是_.思路分析：f(x)是f(x)=x3+2x+1的导函数，f(x)=x2+2,则f(-1)=3.答案：3高手支招5思考发现1.理解和掌握求导法则和求导公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因多是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则;求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素.2.通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形式结构.易犯的错误是受思维定势的影响不善于联想.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.导数运算法则的实质是可把原来函数的加、减、乘、除的运算转化为导数的加、减、乘运算,从而