北师大版选修22 2.5 简单复合函数的求导法则 课件（44张）.ppt

变化率与导数 第二章 5简单复合函数的求导法则 第二章 1 能利用公式y x f x f x 求简单复合函数的导数 2 能够准确分出函数的复合关系 本节重点 复合函数的求导法则 本节难点 准确分出函数的复合关系 1 复合函数的概念一般地 对于两个函数y f u 和u x ax b 给定x的一个值 就得到了u的值 进而确定了y的值 这样y可以表示成x的函数 我们称这个函数为函数y f u 和u x 的复合函数 记作y f x 其中u为中间变量 2 复合函数的求导法则复合函数y f x 的导数为y x f x f u x 说明 y x表示y对x的导数 1 求复合函数导数的步骤求复合函数的导数 一般按以下三个步骤进行 1 适当选定中间变量 正确分解复合关系 即说明函数关系y f u u x 2 分步求导 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 要特别注意中间变量对自变量求导 即先求f u 再求 x 3 计算f u x 并把中间变量代回原自变量的函数 整个过程可简记为分解 求导 回代 2 求复合函数的导数时 首先要分析复合函数的结构 再从最外层开始由外及里逐层求导 做到不重不漏 3 求复合函数的导数要处理好以下环节 中间变量的选择应是基本函数结构 关键是正确分析函数和复合层次 一般是从最外层开始 由外及里 一层层地求导 善于把一部分表达式作为一个整体 最后要把中间变量换成自变量的函数 复合函数的求导 分析二 函数关系式结构较为复杂 可以先设中间变量 然后由复合函数的求导法则求导 点评 对较复杂的函数式求导 一般先化简再求导 本例题中的解法二 把原函数分解为三个层次的基本函数来求导 复合函数的实际应用 点评 本题主要考查复合函数的求导法则以及导数的实际意义 正确使用复合函数的求导法则是解决此类问题的关键 某质点p在半径为10cm的圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动 角速度为2rad s 设圆心在坐标原点o a 10 0 为起始点 求时刻t 1s时 质点p在y轴上的射影点m的速度 解析 设om的长为ycm 因为质点p转动的角速度2rad s 所以y s t 10sin2t 函数y 10sin2t是由函数f u 10sinu和函数u t 2t复合而成的 其中u是中间变量 由导数公式表可得f u 10cosu t 2 再由复合函数求导法则得y t s t f u t 10cosu 2 20cos2t 将t 1代入s t 可得s 1 20cos2 所以当t 1时 质点p在y轴上的射影点m的速度为20cos2m s 复合函数的综合应用 分析 本题的关键是对x的指数作合理的变形 两边取对数可将原函数变形为lny lnx lnx 点评 较复杂的函数求导时 若值域为正数 一般可通过两边取对数等途径 将所求函数进行变形后利用复合函数求导法则求导 求y x 1 x 2 x 10 x 10 的导数 提示 对数运算能使 积 的形式转化为 和 的形式 函数f x lny是复合函数 它是由f u lnu与u y x 复合而成的 分析 利用两边取对数 使 积 的形式转化为 和 的形式 误解 y x e1 2x x e1 2x e1 2x xe1 2x 1 x e1 2x 正解 y x e1 2x x e1 2x e1 2x xe1 2x 1 2x e1 2x xe1 2x 2 1 2x e1 2x 点评 复合函数y f x 的导数为y x f x f u x 即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数 掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系 适当选定中间变量 分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导 而其中要特别注意的是中间变量的系数 答案 c 3 函数y e2x 4在点x 2处的切线方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c ex y 2e 1 0d ex y 2e 1 0 答案 a 解析 y 2 e2x 4 则当x 2时 y 2 e0 2 斜率为2 又当x 2时 y e2 2 4 1 切点为 2 1 切线方程为2x y 3 0 二 填空题4 函数f x 2x 1 5 则f 0 的值为 答案 10 解析 f x 5 2x 1 4 2x 1 10 2x 1 4 f 0 10 5 曲线y e2x在点 0 1 处的切线方程为 答案 2x y 1 0 解析 y e2x 2e2x