北师大版选修22 1.2综合法和分析法 学案1.doc

高手支招3综合探究1.综合法和分析法 综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施. 分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.2.用“分析综合法”证明问题 既然是分析综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析综合法”,其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例1】设a0,b0,a+b=1.求证:+8.思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.证明：a0,b0,a+b=1,1=a+b2,4.+=(a+b)(+)+22+4=8,+8.【例2】已知、k+(kz),且sin+cos=2sin,sincos=sin2.求证:.思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sin+cos)2-2sincos=1,将已知代入上式得:4sin2-2sin2=1.另一方面,要证,即证,即证cos2-sin2=(cos2-sin2),即证1-2sin2=(1-2sin2),即证4sin2-2sin2=1.由于上式与式相同,于是问题得证.【例3】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2.思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法):x2+y2+z2=3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)=(x+y+z)2=,x2+y2+z2.证法二(分析法):x+y+z=1,为了证明x2+y2+z2,只需证明3x2+3y2+3z2(x+y+z)2,即3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,即2x2+2y2+2z22xy+2yz+2zx,即(x2-2xy+y2)+(y2-2xy+z2)+(z2-2zx+x2)0,即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20.(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20成立,x2+y2+z2成立.【例4】已知正方形abcd,e、f分别是ab、cd的中点,将ade沿de折起,如图所示.记二面角a-de-c的大小为(0).(1)证明bf平面ade;(2)若acd为正三角形,试判断点a在平面bcde内的射影g是否在直线ef上,证明你的结论,并求角的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.(1)解：证明：e、f分别是正方形abcd的边ab、cd的中点,ebfd,且eb=fd.四边形ebfd是平行四边形.bfed.ed平面aed,而bf平面aed.bf平面aed.(2)解法一:点a在平面bcde内的射影g在直线ef上,过点a作ag平面bcde,垂足为g,连结gc、gd.acd为正三角形,ac=ad.gc=gd.g在cd的垂直平分线上.又ef是cd的垂直平分线,点a在平面bcde内的射影g在直线ef上.过g作ghed,垂足为h.连结ah,则ahde,ahg是二面角a-de-c的平面角,即ahg=.设原正方形abcd的边长为2a,连结af.在折后图的aef中,af=a,ef=2ae=2a,aef为直角三角形,agef=aeaf.ag=a.在rtade中,ahde=adae.ah=.gh=.cos=.解法二:点a在平面bcde内的射影g在直线ef上,连结af,在平面aef内过点a作agef,垂足为g.acd为正三角形,f为cd的中点.afcd.又efcd,cd平面aef.ag平面aef,cdag.又agef,且cdef=f,cd平面bcde,ef平面bcde.ag平面bcde.g为a在平面bcde内的射影g.点a在平面bcde内的射影g在直线ef上.过g作ghed,垂足为h,连结ah,则ahde.ahg是二面角a-de-c的平面角,即ahg=.设原正方形abcd的边长为2a,在折后图的aef中,af=a,ef=2ae=2a,aef为直角三角形,agef=aeaf.ag=a.在rtade中,ahde=adae,ah=.gh=.cos=.解法三:点a在平面bcde内的射影g在直线ef上.连结af，在平面aef内过点a作agef,垂足为g.acd为正三角形,f为cd的中点,afcd.又efcd,cd平面aef.cd平面bcde,平面aef平面bcde.又平面aef平面bcde=ef,agef,ag平面bcde,即g为a在平面bcde内的射影g.点a在平面bcde内的射影g在直线ef上.过g作ghde,垂足为h,连结ah,则ahde.ahg是二面角a-de-c的平面角,即ahg=.设原正方形abcd的边长为2a.在折后图的aef中,af=a,ef=2ae=2a,aef为直角三角形,agef=aeaf.ag=a.在rtade中,ahde=adae.ah=.gh=.cos=.【例5】如图1,已知ap是o的切线,p为切点,ac是o的割线,与o交于b、c两点,圆心o在pac的内部,点m是bc的中点. 图1 图2(1)证明a,p,o,m四点共圆;(2)求oam+apm的大小.思路分析：利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆,再利用圆中同弧所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.(1)证明:如图2，连结op,om，因为ap与o相切于点p,所以opap.因为m是o的弦bc的中点,所以ombc.于是opa+oma=180,由圆心o在pac的内部,可知四边形apom的对角互补,所以a,p,o,m四点共圆.(2)解:由(1)得a,p,o,m四点共圆,所以oam=opm.由(1)得opap.由圆心o在pac的内部,可知opm+apm=90.所以oam+apm=90.高手支招5思考发现1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要保证不等号的方向始终如一.2.综合法是“由因导果”,分析法则是“执果索因”,这两种方法是对应统一的.解题时往往是综合法和分析法联合使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论q;根据结论的结构特点转化条件,得到中间结论p.若由p可以推出q成立,就可以证明结论成立.3.在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.4.分析法是从结论出发,不断探寻,直到判定一个明显成立的条件.应用分析法,容易找到解题途径,但叙述较繁琐,不及综合法简明,这是它的缺点.5.分析法和