直线与圆锥曲线的综合应用.doc

直线与圆锥曲线的综合应用考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法掌握圆锥曲线的简单应用.1. (选修11P44习题4改编)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_答案：y212x解析：双曲线1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p6，所以拋物线方程是y212x.2. 以双曲线3x2y212的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_答案：1解析：双曲线方程可化为1，焦点为(0，4)，顶点为(0，2)椭圆的焦点在y轴上，且a4，c2，此时b2， 椭圆方程为1.3. 若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_答案：4解析：椭圆1的右焦点(2，0)是抛物线y22px的焦点，所以2，p4.4. 已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_答案：(1，0)解析：设双曲线x2y22的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a、b、c，则ab，c2.故其左准线x1，故1，p2.故焦点坐标为(1，0)5. 已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案：1解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质圆C：x2y26x4y80，令y0x26x80，得圆C与坐标轴的交点分别为(2，0)、(4，0)，则a2，c4，b212，所以双曲线的标准方程为1.1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4) 化方程f(x，y)0为最简形式；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上题型1最值问题例1设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点(1) 若6，求k的值；(2) 求四边形AEBF面积的最大值解：(1) 依题设得椭圆的方程为y21，直线AB、EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1、x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6，知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x0)x2，由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2) 解法1：根据点到直线的距离公式和式，点E、F到AB的距离分别为h1，h2.又AB，所以四边形AEBF的面积为SAB(h1h2)22.当2k1，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T三点共线；(2) 如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0) ，则A(0，b)，B(0，b)，T.AT：1 ，BF：1 ，解得交点C，代入得1，满足式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线(2) 解：过C作CEx轴，垂足为E，则OBFECF.3，CEb，EFc，则C，代入得1，a22c2，b2c2.设P(x0，y0)，则x02y2c2.此时C，AC c，SABC2cc2，直线AC的方程为x2y2c0，P到直线AC的距离为d，SAPCdAC cc.只须求x02y0的最大值，解法1：(x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2，x02y0c.当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.解法2：令x02y0t，代入x2y2c2得(t2y0)22y2c20，即6y4ty0t22c20.(4t)224(t22c2)0，得tc.当tc，代入原方程解得x0y0c.四边形的面积最大值为c2c2c2，c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21.P点坐标为.题型2定值问题例2已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右准线方程为x.(1) 求双曲线C的方程；(2) 设直线l是圆O：x2y22上动点P(x0，y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，求证：AOB的大小为定值(1) 解：由题意，得解得a1，c，b2c2a22，所求双曲线C的方程为x21.(2) 证明：证法1：点P(x0，y0)(x0y00)在圆x2y22上，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，化简得x0xy0y2.由及xy2，得(3x4)x24x0x82x0.切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x0.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，x1x2.cosAOB，且x1x2y1y2x1x2(2x0x1)(2x0x2)x1x242x0(x1x2)xx1x20，AOB的大小为90.证法2：点P(x0，y0)(x0y00)在圆x2y22上，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，化简得x0xy0y2.由及xy2，得(3x4)x24x0x82x0 ，(3x4)y28y0x82x0 .切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x2，3x40.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，y1y2，x1x2y1y20，AOB的大小为90(xy2且x0y00，0x2，0y0，直线MA方程为ykx1，由 代入整理得(a2k21)x22a2kx0，解得xA，故A，由MAMB知直线MB的斜率为，可得B，则MA，MB.则SMABMAMB(1k2).令kt(t2)，则SMAB.当t时取“”， t2，得a1.而(SMAB)max，故a3或a(舍)综上a3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上当k1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线： kAQ，kBQ.由kAQkBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.3. (2012江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)、F2(c，0)已知(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率(1) 求椭圆的方程；(2) 设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.() 若AF1BF2，求直线AF1的斜率；() 求证：PF1PF2是定值(1) 解：由题设知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得11b2c2a2b2a2a2b2b21， c2a21.由点在椭圆上，得111a44a240a22. 椭圆的方程为y21.(2) 由(1)得F1(1，0)、F2(1，0)， AF1BF2， 设AF1、BF2的方程分别为myx1，myx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20. (m22)y2my110y1. AF1.同理，BF2.() 解：由得AF1BF2.由，解得m22. 注意到m0， m. 直线AF1的斜率为.() 证明： AF1BF2， ，即11. PF1BF1.由点B在椭圆上知BF1BF22， PF1(2BF2)同理，PF2(2AF1) PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.由得AF1BF，AFBF， PF1PF22. PF1PF2是定值4. 已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)、F2(c，0)，A1、A2、B1、B2分别为长轴和短轴的端点(如图)，以F2为圆心过A2的圆与直线A2B2相交，弦长为a.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 已知c2，P在椭圆上且在x轴上方，若PF1F2为等腰三角形，求PF1F2的面积及对应的P点的坐标解：(1) 解法1：由题意知圆F2的圆心为(c，0)，半径为ac.直线A2B2的方程为1，即bxayab0.点F2到直线A2B2的距离d.由垂径定理得(ac)2，化简得12a228ac15c20，两边同除以a2得15e228e120，解得e或e(舍)解法2：直线A2B2的方程为1，即bxayab0.点F2到直线A2B2的距离d.弦长la，由三角形相似得，即aab，化简得12a228ac15c20，两边同除以a2得15e228e120，解得e或e(舍)(2) 因为c2，所以a3，b，椭圆的方程为1.若PF1PF2，此时P点的坐标为(0，)，SPF1F242.若PF1F1F2，则PF1F1F24，设P(x，y)，由得或(舍)，此时P点的坐标为，SPF1F24.若PF2F1F2，由对称性得P点的坐标为，SPF1F24.5. 设A1、A2与B分别是椭圆E：1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1) 求证：1；(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由(1) 证明：已知椭圆E：1(ab0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左、右顶点与上顶点，所以A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1.因为A2B与圆C：x2y21相切，所以1，即1.(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为kPA1kPA2，1，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以椭圆E的方程为1.(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2) 若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，由ykxm代入1，得1.化简得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0) x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆C相切 若直线l的斜率不存在，设直线l为xn.代入1，得yb. |n|b， a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆C相切1. 在PMN中，tanPMN，tanMNP2，且PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程解：解法1：如上图，过P作PQMN，垂足为Q，令|PQ|m，于是可得|MQ|PQ|cotPMQ2m，|QN|PQ|cotPNQm.|MN|MQ|NQ|2mmm.于是SPMN|MN|PQ|mm1.因而m，|MQ|2，|NQ|，|MN|.|MP|，|NP|.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为1(ab0)则2a|MP|NP|，2c|MN|，故所求椭圆方程为1.解法2：设M(c，0)、N(c，0)、P(x，y)，y0，则解得x，y，c.设椭圆方程为b2x2a2y2a2b2，则解得a2，b23.故所求椭圆方程为1.2. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线上(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2) 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1) 由已知条件，可设抛物线的方程为y22px.点P(1，2)在抛物线上，222p1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2) 设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线上，得y4x1，y4x2，.y12(y22)，y1y24.由，得直线AB的斜率kAB1(x1x2)3. 已知椭圆C的方程为1(ab0)，双曲线1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)(1) 当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；(2) 当，求的最大值解：(1) 双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又1，POx30，即tan30.ab.又a2b24，a23，b21.故椭圆C的方程为y21.(2) 由已知l：y(xc)，与yx解得P.由，得A.将A点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2.(e2)22e2(1)2.2332.的最大值为1.4. 已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a, O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为