用MATLAB解决数值的微分.doc

MATLAB语言课程论文 用MATLAB解决数值的微分 姓 名：韩玉霞学 号：12010245264专 业：通信工程班 级 ：2010级通信(1)班指导老师：汤全武学 院:物理电气信息学院完成日期：2011年12月26日用MATLAB解决数值的微分（姓名：韩玉霞 班级：2010级通信工程）摘要数值微分是在科学研究和工程技术中经常遇到的重要问题.因为它具有广泛的应用背景和由其不适定性(对输入数据的扰动极为敏感)而带来的气节困难,人们倾注了大量精力去探讨和提出数值稳定的求法.一般来说，函数的导数依然是一个函数。设函数f(x)=g(x),高等数学关心的是g(x)的性质和形式，而数值分析关心的问题是怎样计算g(x)在一串离散点X=(x1,x2,x3.xn)的近似值G=（g1,g2,g3.gn)以及计算的近似值有多大误差。有两种方式计算任意函数f(x)在给定点x的数值导数。第一种方式是用多项式或者样条函数g(x)对f(x)进行逼近（插值或者拟合），然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在点x处的导数。第二种方式是用f(x)在点x处的某种差商作为其导数。关键字差分 差商 数值微分 导数一、 问题的提出 与积分相反,数值微分非常困难.积分描述了一个函数的整体或宏观性质,而微分则描述了一个函数在一点处的斜率,这是函数的微观性质.因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感.而微分却很敏感.一个函数小的变化,容易产生相邻点的斜率的大的改变. 由于微分这个固有的困难,所以尽可能避免数值微分,特别是对实验获得的数据进行微分.在这种情况下,最好用最小二乘曲线拟合这种数据,然后对所得到的多项式进行微分.或用另一种方法,对该数据进行三次样条拟合,然后寻找样条微分.在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，那么我们将以何种途径来解决呢？二、 数值的差分与差商 任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的，在h都趋近于0的情况下： (1) (2) (3) 上述式子中,均假设h0,如果去掉上述等式右端趋近于0的极限过程，并引进记号： (4) (5) (6)以上三式分别为函数在x点处以h(h0)为步长的向前差分、向后差分和中心差分。当步长h充分小时，有： (7) (8) (9)和差分一样，称以上三式与h的比值分别为函数在x点处以h(h0)为步长向前差商、向后差商和中心差商。当步长h(h0)充分小时，函数f在点x的微分接近于函数在该点的任意差分，而f在点x的导数接近于函数在该点的任一种差商。问题一：生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分 问题二： 设x由0,2间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。命令如下：X=linspace(0,2*pi,10); Y=sin(x);Dy=diff(y); %计算y的一阶差分D2z=diff(y,2); %计算y的二阶差分，也可用命令diff(Dy)计算D3y=diff(y,3); %计算y的三阶差分，也可用diff(D2Y)h或diff(Dy,2)输出结果分别是： X= 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 4.8869 5.5851 6.2832 Y=0 0.6428 0.9843 0.8660 0.3420 -0.3420 -0.8660 -0.9848 -0.6428 -0.0000 DY=0.6428 0.3420 -0.1188 -0.5240 -0.6840 -0.5240 -0.1188 0.3420 0.6428 D2Y= -0.3008 -0.4608 -0.4052 -0.1600 0.1600 0.4052 0,4608 0.3008 D3Y= -0.1600 0.0556 0.2452 0.3201 0.2452 0.0556 -0.1600三、数值微分的实现 MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值diff(f,t) 传回f对独立变数t的一次微分值 diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值diff(f,t,n) 传回f对独立变数t的n次微分值也即matlab求导命令diff调用格式:diff(函数) ， 求的一阶导数；diff(函数， n) ， 求的n阶导数(n是具体整数)；diff(函数，变量名)， 求对的偏导数；diff(函数， 变量名，n) ，求对的n阶偏导数；数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。输入方式:（1）求一阶导数 dy=diff(y) 或： dy=diff(y,v)（2）求高阶导数 dy=diff(y,n) 或：dy=diff(y,v,n)注解:y 是被求导的函数, 是符号表达式;2. v 是指定对其求导的自变量, 是符号变量. 若函数表达式中有多个符号变量, 最好应指定 其中某个为对其求导的自变量, 以免出错.3. n 指定求导数的阶数;4. dy 是求导的输出结果, 也是符号表达式.问题三：用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接对f(x)求数值导数gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作图 图1 用不同方法求得的数值导数diff（求导，偏导）（1）对于离散的XY = diff(X) %对x求差分Y = diff(X,n) %对x求n阶差分Y = diff(X,n,dim) %dim=2时对列向量求差分问题 四： 一阶导数syms x;f=cos(x)/(x3+7*x+2);f1d=diff(f,x)pretty(f1d)1. 绘制原函数以及求导后函数曲线 x1=0:0.001:5(f,x,x1); y1d=subs(f1d,x,x1); plot(x1,y,x1,y1d,:); y=subs; 图2 原函数及求导后的曲线当求导的函数比较复杂，或者是求高阶导数时，计算量是很大的。此时可以用MATLAB的diff命令来求导数。问题五： 求的导数。 解 ： syms x diff(xsin(x) %调用diff函数 ans= xsin(x)*(cos(x)*log(x)+sin(x)/x)可以用pretty命令来整理一下显示结果，使之更符合一般的书写格式 pretty(ans) 问题 六：求的高阶导数。 解 ： syms a x diff(exp(a*x),x,3) ans= a3*exp(a*x) diff(exp(a*x),x,30) ans= a30*exp(a*x)即。问题 七：求导数求函数e(ax)sin(bx)的导数，其中a=-0.5,b=2,画数值导数和符号导数曲线并与解析解进行比较 图3 数值导数的曲线当求导的函数比较复杂，或者是求高阶导数，计算量是很大的。此时可以用MATLAB的diff命令来求导。问题八 求Y=X（sinx）的导数解： syms xDiff(xsin(x) %应用diff命令求导Ans=xsin(x)*(cos(x)*log(x)+sin(x)/x)问题九Y=e(ax)高阶导数解： syms a xDiff(exp(a*x),x,3) %应用diff命令求导ans =a3*exp(a*x) diff(exp(a*x),x,30)ans=a30*exp(a*x)问题十求函数sin x导数解一：diff（2*a*sin(b*x); Y=2*a*sin(b*x);解二：diff（y,x）syms a b x Y=2*a*sin(b*x);运行结果：ans= 2*a*cos(b*x)*b小结：Diff（y,x） 注解：syms是定义符号变量的命令，被定义的多个变量之间用空格隔开。1:求函数导数的命令，一般调用格式： Diff(y,x,n)2:定义符号变量，一般形式： Syms x y a b t3:转变一个符号表达式S的显示形式： Pretty（S）四：结论 从以上利用MATLAB语言对数值微分的分析我们不难的出以下结论：有两种方式计算任意函数的数值导数，第一种方式是用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行逼近，然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在点x处的导数。第二种方式是用f(x)在点x 处的差商作为其导数。在MATLAB中没有直接提供求数值导数的函数，所以我们只有计算向前差分的函数diff，通过对diff的调用达到对数值函数微分求导的目的。从以上论文我们不难看出MATLAB的作图功能的强大。五：课程体会 经过一学期紧张而有序的课程学习，在忙碌之余也得到了颇多的收获，数值的微分仅仅是MATLAB巨大的学科用途的一个小的方面。我深深体会到MATLAB语言相对于同类程序语言更方便更简洁易懂到了MATLAB在各种运算中的巨大用处，以及其在个学科中领域中的应用。尤其它具有功能强，效率高，简单易学等特，这一软件不仅仅局限于统计，上网查询才知道MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作： 数值分析 数值和符号计算 工程与科学