北师大版选修45 几个重要的不等式 课件（33张）.pptx

第二章几个重要的不等式 章末复习 学习目标1 梳理本章的重点知识 构建知识网络 2 进一步理解柯西不等式 排序不等式和贝努利不等式 并能够熟练应用 3 理解数学归纳法的基本思想 初步形成 归纳 猜想 证明 的思维模式 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 柯西不等式定理1 对任意实数a b c d 有 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当向量 a b 与向量 c d 共线时 等号成立 2 排序不等式定理1 设a b和c d都是实数 如果a b c d 那么ac bd ad bc 当且仅当a b 或c d 时取 号 定理2 排序不等式 设有两个有序实数组a1 a2 an及b1 b2 bn 则 顺序和 a1b1 a2b2 anbn 乱序和 逆序和 a1bn a2bn 1 anb1 其中j1 j2 jn是1 2 n的任一排列方式 上式当且仅当a1 a2 an 或b1 b2 bn 时取 号 3 贝努利不等式对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 4 数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题 步骤 1 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时命题正确 2 假设当n k时 k n k n0 命题正确 证明当n k 1时命题也正确 题型探究 类型一利用柯西不等式证明不等式 证明 又已知a b c d不全相等 则 中等号不成立 反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧 2 利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数 并向着柯西不等式的形式进行转化 运用时要注意体会 原结论成立 证明 类型二利用排序不等式证明不等式 证明不妨设a b c 于是a b c 由排序不等式 得aa bb cc aa bb cc aa bb cc ba cb ac aa bb cc ca ab bc 三式相加 得3 aa bb cc a b c a b c 证明 引申探究 证明 证明不妨设a b c 于是a b c 由0 b c a 0 a b c 0 a c b 有0 a b c a c a b c b a c b a b c a b a c b c a b c a 2a b 2b c 2c a b c 2 aa bb cc 反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略 1 在利用排序不等式证明不等式时 首先考虑构造出两个合适的有序数组 并能根据需要进行恰当地组合 这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 2 根据排序不等式的特点 与多变量间的大小顺序有关的不等式问题 利用排序不等式解决往往很简捷 证明由a b c的对称性 不妨设a b c 证明 等号成立的条件为a b c 类型三归纳 猜想 证明 例3已知数列 an 的第一项a1 5且sn 1 an n 2 n n 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表达式 解答 解a2 s1 a1 5 a3 s2 a1 a2 10 a4 s3 a1 a2 a3 5 5 10 20 2 用数学归纳法证明 an 的通项公式 证明 证明 当n 2时 a2 5 22 2 5 公式成立 假设当n k时成立 即ak 5 2k 2 k 2 k n 当n k 1时 由已知条件和假设 有ak 1 sk a1 a2 ak 5 5 10 5 2k 2 故当n k 1时公式也成立 由 可知 对n 2 n n 均有an 5 2n 2 反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路 观察 归纳 猜想 证明 即先通过观察部分项的特点 进行归纳 判断并猜想出一般结论 然后用数学归纳法进行证明 跟踪训练3在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 并猜想an bn的表达式 解答 猜想an n n 1 bn n 1 2 2 用数学归纳法证明你的猜想 证明 证明 当n 1时 由a1 2 b1 4知 结论正确 假设当n k k 1 k n 时结论正确 即ak k k 1 bk k 1 2 则当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 即当n k 1时结论正确 由 知猜想的结论正确 类型四利用柯西不等式或排序不等式求最值 例4 1 求实数x y的值 使得 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2达到最小值 解答 解由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 解设b1 b2 b3 b4 b5是a1 a2 a3 a4 a5的一个排列 且b1 b2 b3 b4 b5 因此b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 b5 5 解答 反思与感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 1 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定 其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理 在这类题目中 利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 2 在利用柯西不等式或排序不等式求最值时 要关注等号成立的条件 不能忽略 解答 达标检测 1 2 4 3 5 y 3 y的最大值为3 答案 解析 1 2 4 3 5 答案 解析 p q 当且仅当a1 a2 an 0时等号成立 1 2 4 3 5 a p qb p qc p qd p q 答案 解析 解析设a1 a2 an 0 1 2 4 3 5 解析 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k2 3k 6 k3 5k 3k k 1 6 4 用数学归纳法证明 n3 5n能被6整除 的过程中 当n k 1时 对式子 k 1 3 5 k 1 应变形为 答案 解析 k3 5k 3k k 1 6 1 2 4 3 5 解析当n k 1时 左端 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 所以增加了 k2 1 k 1 2 k2 1 k 1 2 答案 解析 1 对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义 从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式 柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式 2 参数配方法是由旧知识得到的新方法 注意体会此方法的数学思想 3 对于排序不等式要抓住它的本质含