北师大版选修11 第三章 §1　变化的快慢与变化率 学案.docx

1变化的快慢与变化率学习目标1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1怎样理解从点a到点b自变量x的增量、函数值y的增量？答案(1)自变量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自变量相对于x1的“增加量”(2)函数值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示为f(x1x)f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.思考2函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？答案(1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”(2)平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然梳理函数的平均变化率的定义及作用(1)定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变量，记作y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即.(2)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢知识点二瞬时变化率思考瞬时速度与平均速度有何区别？答案瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢梳理瞬时变化率的定义及作用(1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是.而当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢对于函数yf(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记xx2x1，yf(x2)f(x1)，则1x可正，可负，可为零()2函数yf(x)的平均变化率为.()3函数yf(x)的平均变化率为.()4当x趋于0时，就趋于函数在x1处的瞬时变化率()类型一函数的平均变化率例1求函数yf(x)x2在x分别从1到1x,2到2x,3到3x的平均变化率，当x都为时，哪一点附近的平均变化率最大？考点平均变化率的概念题点求平均变化率解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k20)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为sv0tgt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度解因为sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt.当t趋于0时，趋于v0gt0，故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0gt0.反思与感悟1.求瞬时速度的步骤(1)求位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度v.(3)当t趋于0时，平均速度趋于瞬时速度2求当x无限趋近于0时，的值(1)在表达式中，可把x作为一个数来参加运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0，就是令x0，求出结果即可跟踪训练2一质点m按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点m在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度解质点m在t2时的瞬时速度即为函数s(t)在t2处的瞬时变化率质点m在t2附近的平均变化率4aat，当t趋于0时，趋于4a，4a8，得a2.1已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数()a在x0处的变化率b在区间x0，x1上的平均变化率c在x1处的变化率d以上结论都不对考点平均变化率的概念题点平均变化率概念的理解答案b解析，由平均变化率的定义可知，故选b.2一物体的运动方程是s(t)32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()a0.4 b2c0.3 d0.2考点平均变化率的概念题点求平均速度答案b解析2.3物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)4t216t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为()at1 bt2ct3 dt4考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度答案b解析设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，8t0164t，当t趋于0时，趋于8t016，令8t0160，解得t02.4球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案解析y2313，球的体积平均膨胀率为.5设函数f(x)3x22在x01,2,3附近x取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小考点平均变化率的概念题点求平均变化率解函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x01，x时，函数在1,1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当x02，x时，函数在2,2.5上的平均变化率为k26230.513.5；当x03，x时，函数在3,3.5上的平均变化率为k36330.519.5，所以k1k2k3.1平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢2可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义一、选择题1已知函数yf(x)sin x，当x从变到时，函数值的改变量y等于()a b.c. d.考点平均变化率的概念题点函数因变量的增量答案b解析yf f sin sin .2已知函数f(x)2x24的图像上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于( )a4 b4x c42x d42(x)2答案c解析42x.3一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1，1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()a3 b3c6 d6考点瞬时速度与平均速度的关系题点瞬时速度答案d解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，当t趋于0时，3t6趋于6，故该质点在t1时的瞬时速度为6.4.如图，函数yf(x)在a，b两点间的平均变化率是()a1 b1c2 d2考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案b解析依题意可知yybya132，xxbxa312，所以函数yf(x)在xa到xb之间的平均变化率为1.5一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)t2，当t2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()a2 b1 c. d.答案c解析s(2t)22244t(t)24(t)24t，t.当t趋于0时，趋于.6函数f(x)x2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()ak1k2ck1k2 d无法确定考点平均变化率的概念题点平均变化率概念的理解答案d解析k12x0x，k22x0x，而x可正可负，故k1，k2大小关系不确定7如果函数yf(x)axb在区间1,2上的平均变化率为3，则()aa3 ba3ca2 da的值不能确定考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案b解析a3.8一个物体的运动方程是s2t2at1，该物体在t1时的瞬时速度为3，则a等于()a1 b0c1 d7考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度答案a解析a42t，当t趋于0时，a42t趋于a4，由题意知a43，得a1.二、填空题9汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为_考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案123解析1koa，2kab，3kbc，由图像知，koakabkbc，所以123.10函数f(x)2在x1处的瞬时变化率为_考点瞬时变化率的概念题点瞬时速率答案2解析y2(2)1，当x趋于0时，趋于2.11若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.答案解析7t14t，t趋于0时，趋于14t，即14t1，t.12函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率为2，则t_.考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案5解析函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，即t2t62t4，t23t100，解得t5或t2(舍去)所以当函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2时，t的值是5.三、解答题13若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度考点变化率的概念题点瞬时速度解(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5内的平均速度为24 m/s.(2)求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近的平均变化率为3t18，当t趋于0时，趋于18，物体在t0处的瞬时变化率为18，即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为函数在t1处的瞬时变化率物体在t1附近的平均变化率为3t12.当t趋于0时，趋于12，物体在t1处的瞬时变化率为12.即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.四、探究与拓展14.甲、乙两厂污水的排放量w与时间t的关系如图