高三数学复习——概率统计的解题技巧.doc

高三数学 概率统计的解题技巧【命题趋向】概率统计命题特点：1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题值得一提的是此类试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值取每一个值的概率列分布列求期望方差常以大题形式出现概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关【考点透视】1了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义2了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率4会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率5掌握离散型随机变量的分布列. 6掌握离散型随机变量的期望与方差.7掌握抽样方法与总体分布的估计. 8掌握正态分布与线性回归.【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率。解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);等可能事件概率的计算步骤：1.计算一次试验的基本事件总数; 2.设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;3.依公式求值; 4.答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)P()P(A)1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k).其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式(1-P)+Pn展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.计数原理与排列组合要点精讲1排列、组合、二项式知识相互关系表2两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。3排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系 =n(n1)(nm+1)；（3）全排列列： =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=；（3）组合数的性质Cnm=Cnn-m； ；rCnr=nCn-1r-1； Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+x2；（5）证明不等式。例1 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 例2一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g501.5g之间的概率约为_例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_.（精确到0.01）例5从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率例6两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）例7甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.例8. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率考点2离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等表示.随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（1，2，）的概率P（）=，则称下表.PP1P2为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1），1，2，;（2）=1.常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布：次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，n，并且，其中，随机变量的分布列如下：01P称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .（2） 几何分布 ：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：123kPpqp例9厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.例10某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率;（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）考点3 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：；期望反映随机变量取值的平均水平.离散型随机变量的方差：；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：；.(4)若B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ; 如果随机变量服从几何分布，则，D =其中q=1-p.例11甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012012PP则比较两名工人的技术水平的高低为 .例12.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望例13.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.例14.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .例15一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是 例16考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161 作出频率分布表；画出频率分布直方图.考点5 正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中、为常数，并且0，则称服从正态分布，记为（，）.（2）期望E =，方差.（3）正态分布的性质正态曲线具有下列性质:曲线在x轴上方，并且关于直线x对称.曲线在x=时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.（4）标准正态分布：当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）（5）两个重要的公式：, .（6）与二者联系. 若，则 ;若，则.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n个样本数据（），（），（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为|、|的平均数.例17.如果随机变量N（，2），且E=3，D=1，则P（11等于( )A.2（1）1 B.（4）（2） C.（2）（4） D.（4）（2）例18. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ，液体的温度（单位：）是一个随机变量，且N（d，0.52）.（1）若d=90，则89的概率为 ；（2）若要保持液体的温度至少为80 的概率不低于0.99，则d至少是 ?（其中若N（0，1），则（2）=P（2）=0.9772，（2.327）=P（2.327）=0.01）.例19设，且总体密度曲线的函数表达式为：，xR.（1）则，是 ；（2）则及的值是 .例20 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高N（173，7）（单位：cm），则车门应设计的高度是 （精确到1cm）？【专题训练与高考预测】一.选择题1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是 （）A.期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值集中与离散的程度.B.期望与方差都是一个数值，它们不随试验的结果而变化C.方差是一个非负数 D.期望是区间0，1上的一个数.2.要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是 （ ）A. 总体 B.总体的一个样本 C.个体 D. 样本容量3.已知的分布列为： 01P设则的值为 （ ） A. 5 B. C. D. 4.设，则n,p的值分别为 （）A.18 ， B. 36 ， C. ，36 D. 18，5.已知随机变量 服从二项分布，则等于 （）A. B. C. D.6.设随机变量的分布列为,其中k=1,2,3,4,5,则等于 ( )A. B. C. D.7.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数的数学期望为( )A.15 B.10 C.5 D.都不对8.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意见.为了更具有代表性,抽取应采用 () A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样9.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 ( )A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.972810.某校高三年级195名学生已编号为1，2，3，195，为了解高三学生的饮食情况，要按1：5的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取3名学生的编号可能是（ ）A.3，24，33 B.31，47，147 C.133，153，193 D.102，132，15911.同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为,则的数学期望是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.4012.已知,且,则P()等于 ( )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.413.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法14.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h二.填空题15.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元,生产出一件乙级产品发奖金30元,若生产出一件次品则扣奖金20元,某工人生产甲级品的概率为0.6,乙级品的概率为0.3,次品的概率为0.1,则此人生产一件产品的平均奖金为 元. 16. 同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量 表示结果中有正面向上, 表示结果中没有正面向上,则 .17. 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是 .18.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件.19.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是_.20.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1160编号，按编号顺序平均分成20组（18号，916号，153160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_.三.解答题21. 某单位有职工160名