我院历届高等数学竞赛试题.docVIP

第二届高等数学竞赛初赛试题注：试卷中题号相同的任选一个做，都做按第1个成绩记入总分。一、填空题(每小题4分，共32分，)1已知在处取极小值3，则；2若的导数连续且，则3设，与的夹角为，则以和为邻边的平行四边面积S= 4若连续，则55改变二次积分的积分次序= 6设，则7= 8设为的正向，则二、计算及证明1. （6分）计算 2（6分）计算 3（8分）求由方程所确定的函数的驻点。4（6分）计算曲面积分，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。5（6分）设，求6（6分）设，求.7（8分）求过点且与两平面和平行的直线方程7（8分）求直线在平面上的投影直线方程。8（8分）已知曲边三角形由抛物线及直线所围成，求： （1）曲边三角形的面积； （2）该曲边三角形绕直线旋转所成旋转体的体积。9（8分）设在上连续，且。证明方程在内有且仅有一个根。10.（6分）设，在上连续，在内可导，则存在，使第二届高等数学竞赛复赛试题一、填空题(每小题4分，共32分)1. ；2.设在处连续，且，则 ；3.设可导，则 ； 4.若为，则 ； 5.由方程 所确定的函数的图象在处的切线方程为 ；6. 设，则 ；7. 设为正向的圆周，则曲线积分 8.反常积分 。二、计算及证明题1.求 (6分)2.求通过点且垂直于平面和的平面方程。（8分）3. 设在上连续，且满足方程，求.（8分）4. 求，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.（8分）5. 求旋转椭球面上距平面的最近距离的点（8分）6.已知曲线 与曲线在点处有公共切线，求1）常数和切点； 2）求两曲线与轴所围平面图形的面积；3）求2）中平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积。（10分）7. 设函数在点处沿曲面法向的方向导数（8分）8.已知在上可微，且，证明在内至少存在一点，使得。（5分）9设 ，其中具有连续导数，且，在处连续，求，并讨论在处的连续性。（7分）第三届高等数学竞赛初赛试题一、填空题(每小题3分，共36分)1当时，与是等价无穷小，则 ； ；2是的第 类 间断点。3若，则 ；4已知，则 ；5设，则 ；6在上的最大值是 ；最小值是 ；7设，则 ；8设都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，则 ；9.为单位向量，其夹角为，则以和为邻边的平行四边行的面积为 ；10设，则 ；11设为球面，则曲面积分 ；12函数在处沿点指向方向的方向导数是 ；二、计算及证明题1. 求。 (6分)2求过点且垂直于两直线和的直线方程。(8分)3有两根长为，质量为的均匀细棒，位于同一直线上，相距为，求两棒间的引力。(8分)(万有引力公式为)4设，讨论在处的可微性，若可微，求出。(9分)5设，且在上连续，证明在中有且仅有一个零点 。(9分)6设函数在上连续，且。求。(8分)7.设在上连续，在内可导，。求证：，使得。(8分)8计算，其中是上半圆周上从到的弧段。(8分)第三届高等数学竞赛复赛试卷一、填空题(每小题3分，共36分)1.设在上可导，则 ； 2. 3.若满足，则 4.设，则 5.曲面在处的切平面为 6.设，则 7.设，则 8.设，则 9.交换积分次序： 10.已知均为单位向量，并满足，则 11. 在点处沿从点到点的方向导数为 12.设为，依逆时针方向，则 二、计算及证明题1. 求。(6分)2以下两题选做一题，都做的按第一题计分。（8分）（1）求过点且与直线垂直相交的直线的方程。（2）求由方程确定的函数的极值。3设均匀细杆质量为，长度为，质量为的质点位于的延长线上，当质点从距点处移至距点处，求引力所做的功。(8分)4设，试确定常数的值，使在上可导，并求。(8分)5设非负函数在上连续且单调上升， 与直线及（）围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为。（1）证明存在唯一的，使得；（2）取何值时两部分面积之和最小？最小为多少？(9分)6设可微，且。（1）若存在，使得，求；（2）若（为一已知函数），求，使得。(8分)7.求幂级数的收敛域与和函数。（8分）8计算，其中为圆锥面被平面所截部分的下侧。(8分)第四届高等数学竞赛初赛试题一、填空选择题(每小题2分，共36分)1.如果函数在点处可导，则2. 3.已知函数的驻点是，则4.设，则5.向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依次为、和，则该向量的起点的坐标为_6.若函数在矩形区域上连续，且 ，则_7. 已知为某一函数的全微分，则_8.设是由方程所确定的的函数，则_9.设.则其在点处，沿方向的方向导数为_；其在点处的最大方向导数为_。10.设C为上从点（0，0）到点（2，4）的一段弧，则_11.设是球面，则_12函数不可导点的个数是（ ） . 3 ； . 2 ； . 1 ； . 0 13二元函数的以下4条性质的正确关系为（ ） 在点连续；在点处的两个偏导数连续；在点可微 ；在点处的两个偏导存在 14已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数为（ ） .； . ； . ； .15.设闭区域，则 （ ） 16.若，则=（ ） 17. 方程的一个特解应具有形式（ ）； ； ； .18.函数在上处处可导，且有，此外，对任何的实数恒有，那么（）；。二、计算及证明题。（每小题8分，共64分）1.以下两题选作一题，两题都做的按第一题计分。（1）过直线作曲面的切平面，求该平面的方程（2）设由方程确定,具有一阶连续偏导数，试求。2.求极限： 。3. 设半径为的球面的球心在定球面上，问当取何值时，在定球面内部的那部分的面积最大？4.已知、为实数，而且.证明：（提示：考虑函数）5.设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程，试求函数6. 以下两题选作一题，两题都做的按第一题计分。（1）证明： ，并求出积分值。（2）计算，其中7证明：若，则（1），其中；（2）。8. 设函数在平面上有连续的一阶偏导数，且曲线积分与积分路径无关，并且对任意的，恒有，试求 第四届高等数学竞赛复赛试题一、填空选择题(每小题2分，共36分)1.在时有极大值，在时有极小值的最低幂次多项式的表达式是 2.已知存在，且，则 3. 4.已知为单位向量， 垂直于，垂直于，则向量与的夹角为 5.若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，则 6.设都是已知的连续函数，已知有三个特解，则此微分方程的通解为 7.设是由方程组确定的隐函数，则 8.设为圆周，则 9.若函数在点处取得极小值3，则常数 之积_ 。10.函数在点处沿曲面的外法向的方向导数为 11.设为球面的外侧，则= 12幂级数的收敛半径为 。13下列级数条件收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）14设为连续函数，则（ ）(A) (B) (C) (D) 15. 下列命题中正确的命题有几个？（ ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 16. 曲线，在点处的切线必平行于（ ）(A) 平面；(B) 平面；(C) 平面；(D) 平面,17. 设在点的某邻域内有定义，且，为常数，则下列结论不正确的是 （ ） (A) 在点连续； (B) 在点可导，且； (C) 在点可微，且； (D) .18.设，且则当时，有（ ） (A) ； (B) (C) ； (D) .长江大学工程技术学院试卷 班 级 班内序号 学号 姓 名 密 封 线 二、计算及证明题。（共64分）1. （8分）讨论由在区域内确定的隐函数的驻点，并判断这些驻点是否为极值点？是极小值点还是极大值点？2（8分）以下两题任选一题做，都做的按第一小题计分。（1）已知满足 ，求曲线与直线所围区域的面积的最大值与最小值。（2）如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下船能到达对岸；船能到达点.3. （8分）以下两题任选一题做，都做的按第一小题计分。（1）设在上连续，在内可导，求证： ，使得。（2）已知函数在0 ,1上连续，在（0 ，1）内可导，且，证明：存在，使得；存在两个不同的点，使得 4. （10分）以下两题任选一题做，都做的按第一小题计分。（1）若是连续函数，证明，并求。（2）计算重积分，其中D是由围成的区域。5. （10分）设函数在时连续，对任意的闭曲线C有，且，（1）求；（2）求的一个原函数。6.（10分）设级数为。求：（1）收敛域；（2）和函数；（3）的值。7.（10分）计算曲面积分其中为有向曲面其法向量与轴正向的夹角为锐角。第五届高等数学竞赛初赛试题一、填空选择题(每小题2分，共30分)1. 变量在 时为无穷小量.2. _3. 已知曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)，则()= 4. 已知为的一个原函数，则=_ _5. 曲面上点处的切平面方程为_ 6. (1) 设函数由方程=0确定，则= (机械系学生做)(2) 设是球面，则_(其他系学生做)7. 交换积分次序：= 8.(1)设，则_ _ _(机械系学生做)(2)设，则在点处的最大方向导数为_(其他系学生做)9. 设，则与夹角的余弦 10. 若，则时，有（ ）（A） (B) (C) 与是等价无穷小 (D)与是同阶无穷小11设，则下列选项正确的是( ). （A）是的极大值 (B)是的极大值 (C) 是的极小值 (D)是曲线的拐点12已知，且存在，则常数的值为（ ）（A） (B) (C)(D)13若，则下列各式中不成立的是（ ）.（A） (B) (C) (D)14由确定，（为可微），则（ ）（A） （B） （C） （D）15.(1) (机械系学生做) 用待定系数法求微分方程的一个特解的形式为（ ）(A) (B) (C) (D)(2)(其他系学生做)设是上半椭圆周，是四分之一椭圆周：，则（ ）(A) 。(B) 。(C) 。(D) 二、计算及证明题。（共70分）1. (6分)设在处具有以下条件：(1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微分；(4) 偏导数存在且偏导数连续。请说明他们之间的相互关系。2. (6分)求极限： 。3. (10分)假设曲线：（0）、轴和轴所围成的平面区域被曲线：分为面积相等的的两部分，其中是大于零的常数，(1)试确定的值；(2)求由、和轴所围成那部分绕轴旋转所得旋转体的体积。4. (8分) 设，求在上的最大值 。5(8分)已知曲线经过原点，且在原点处的切线平行与直线，而满足微分方程，求此曲线的方程6. (8分)函数由方程所确定，其中具有连续导数，是不全为零的常数，试证7(10分) 设圆含在椭圆内部. (1) 欲使这样的椭圆面积达到最小，问,应满足什么条件? (2) 求出该椭圆的最小面积.8. (8分) (1) (机械系学生做)求过原点且垂直于两平面与的平面方程。 (2) (其他系学生做) 求， 。9. (10分) (1) (机械系学生做) 若是连续函数，证明，并求。(2)(其他系学生做)设曲线积分与路径无关,其中具有连续导数,且,求表达式；的值。第五届高等数学竞赛复赛试题一、填空选择题(每小题2分，共28分)1. 设在点处具有连续导数,且,则_2. 设,则_3. 设满足隐函数存在定理的条件,则 4. 若，则= .5. (1)设是由方程所确定的隐函数,则 (机械系学生做)(2) 已知曲线积分与路径无关,则 (其他系学生做)6. 交换积分次序：= 7. 问函数在点处方向导数最大为 8.已知球面的一直径的两个端点为和，则该球面的方程为 9.下列命题中正确的命题有几个？ （ ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 10已知函数对一切满足,若,则（ ） (A)是的极小值; （B）是的极大值;(C) 是曲线的拐点; (D)不是的极值, 也不是曲线的拐点.11微分方程的特解的形式为（ ） （A）； （B）；（C）； （D）12（ ）。（A）2arctant （B） （C） （D）13函数的极小值点( ) (A); B.; (C) ; (D).14. (1) (机械系学生做)设矢量的模分别为，且与的夹角为，则(A)1; (B); C)2; (D). (2)(其他系学生做) 设为常数，则级数是（ ） (A)绝对收敛 （B）.条件收敛 (C)发散 (D)收敛性不定二、计算及证明题。（共72分）1. (8分) 设可微且满足，求。2. (8分) 求极限： 。3. (8分) 在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求(1)切点M的坐标及过切点M的切线方程。(2)上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。4. (8分) 设，讨论在处：（1）的偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？5(8分) 设试证:并求6. (8分)设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，。证明：(1) 至少存在一点,使得；(2)至少存在一点，使得7(8分)机械系学生做（1），其他系学生做（2）。(1) 计算积分其中(2) 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。8. (8分) 机械系学生做（1），其他系学生做（2）。(1) 设求积分的最大值。(2)计算第二型曲面积分，：半球面取上侧。9. (8分) 机械系学生做（1），其他系学生做（2）。(1) 过直线做曲面的切平面，求此切平面方程。(2) 将展开为的幂级数； 指出该幂级数的收敛域； 求级数的和第六届高等数学竞赛试题一、填空选择题(每小题3分，共30分)1. 当时,与是等价无穷小,则_2. 曲