函数最值`导数应用题(理).doc

年 级高二学 科数学（理）版 本人教实验A版（理）内容标题函数最值、导数应用题（理）编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数最值、导数应用题二. 重点、难点：1. 闭区间上的连续函数必有最值。2. ，求的值，最大的为最大值，最小的为最小值。3. 应用问题（1）选定自变量x（2）选定函数值y（3）建立函数关系（4）确定函数的定义域（5）用导数求最值【典型例题】例1 求下列函数最值。（1）解：（舍） （2）解： （3） 例2 ，函数，求。解： 例3 ，求解：（1） （2） 或31例4 已知a为实数，（1）求导数；（2）若，求f（x）在2，2上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（，2）和上都是增函数，求a的取值范围。解：（1）因为所以（2）由，得，此时有所以，由，得或，又因为，所以在2，2上的最大值为，最小值为（3） 的图象为开口向上且过点（0，4）的抛物线由条件得，即，解得，所以a的取值范围为-2,2例5 已知函数在与x=1时都取得极值。（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对时，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（1） 由，得 当变化时，的变化情况如下表：x（，）（，1）1（1，+）+00+f（x）极大值极小值 函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+）；递减区间是（，1）（2） 又 ， 为最大值，要使在恒成立只需，解得或例6 已知函数的图象在点M（）处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：（1） 又 函数的图象在点M（）处的切线方程为 ，即解得（ 舍去） 所求函数解析式为（2） 令，解得当或时，当时， 在（）和（）内是减函数，在（，）内是增函数例7 设函数，其中。（1）若在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（，0）上为增函数，求a的取值范围。解：（1） 在取得极值 ，解得经检验知时，x=3为f（x）为极值点（2）令得当时，若，则在和上为增函数，故当时，在（，0）上为增函数当时，若，则 在（）和（）上为增函数，从而当时，在上也为增函数综上所述，当时，在（，0）上为增函数例8 ，求证：证：令x（0，1）1（1，+）0+y ，恒成立 例9 求抛物线上与点A（6，0）距离最近的点。解：设M（x，y）为抛物线上一点，则 与2同时取到极值 令由得 当或时，+ f（x）+ x=2是f（x）的最小值点，此时x=2，y=2，即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点是（2，2）例10 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4 由题设可得正六棱锥底面边长为：（单位：m）故底面正六边形的面积为：（单位：m2）帐篷的体积为：（单位：m3）求导得，令解得（不合题意，舍去） 当时，为增函数当时，为减函数 当时，V（x）最大答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为例11 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时要耗油（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得（） 令，得当时，是减函数；当x（80，120）时，h（x）是增函数 当x=80时，h（x）取到极小值h（80）