注重解题规范提升解题能力

注重解题规范 提升解题能力苏州市吴中区教学研究室 王雪元一、2013年江苏高考的特点与评价2013年高考过后，各个方面的评价较好，各个层面的人对此试卷比较满意。这对今年的命题肯定会有一定的影响。具体来说，2013年的高考有以下一些特点：1、江苏实行新高考方案以来最为平和的一年（1）试题内容贴近中学数学教学，有利于中学教学教学改革（2）试题形式温和、难易度比较人性化，深受广大师生的欢迎。2、坚持对重点知识重点考查方向；坚持“能力立意”，力求“稳中有变，在稳中创新”；坚持“注重基础性，突出综合性，把握时代性”。3、对考生的的答题规范要求相对比较严格，有利于培养中学数学教学中培养学生的科学严谨的学习态度和习惯，真正体现数学的严谨和条理性。 4、不足与需要改进的地方：（1）主观题中的证明题数量偏多，但除最后一题外，思维层次较浅，给阅卷和评分带来了一定争议和麻烦。（2）应用题的数据处理不够理想，有待于改进。（3）最后两题的区分度很小，不利于高校选拔。二、2014年高考的应考策略距离高考的时间只有两个多星期，在这关键时刻，如何把握住考试方向，少做或不做无用功，提高应试复习的针对性，至关重要。只有复习目标明确了，才可以在较短时间内指导学生如何握复习重点，老师才有可能在重点内容上提升学生的解题能力。苏州大学数科院近组织了部分专家和一线把关老师认真研究了近几年的高考试卷和考试说明，组织编制了二套复习指导卷，下面结合这两套复习卷对今年冲刺阶段从两个方面：（1）如何强化有关知识点和题型的复习；（2）如何规范解题，减少无谓的失分谈一点想法与建议。1、填空题的考前复习近几年的高考试卷，填空题在知识点考查方面，布局相对稳定，在难度设置方面，层次分明，基本分为三个层次：第1到第6题为第一层次；第7到第12题为第二层次；第13、14题为第三层次。（1）第一层次填空题的应试策略第一层次的填空题主要考查：集合、复数、简易逻辑、概率统计与算法、双曲线与抛物线的标准方程和几何性质等，对于这些考题的复习和训练，要把握住尺度，切不可随意提升难度，对于概率、统计与算法的考题，则要求学生能认真审题，明确题意，切不可在审题上出现差错。（卷15）从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是_误解：所选3人中已有1个女生，则只须在3个男生中选1个即可，设恰好选出的是一男一女的事件为A，于是。解析设恰好选出的是一男一女的事件为A，则（卷2-5）将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为_存在的问题：有些学生至今还不理解系统抽样的意义，将系统抽样与分层抽样混淆起来。解析：根据系统抽样特点，被抽到号码l10k3，kN第三营区中被抽到的为363,373493，因此第三个营区被抽中的人数为14 （卷1-7）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，A14图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是_存在的问题：但是有些考生不理解茎叶图和流程图表示的含义，因而无法下手或造成失误。解析依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10（2）第二层次填空题的应试策略 这一层次的填空题考查的知识点基本上集中在：函数的图象与性质、三角变换及应用（包括解三角形）、平面向量的线性运算和数量积运算、不等式的解法和基本不等式的应用、直线与圆、椭圆的几何性质、等差（比）数列的通项与求和、导数的应用、空间线面关系的判断及空间有关计算问题等。这一层次的填空题也是提全卷区分度的一个着力点。因而命题人在这层次问题的设置上既照顾知识覆盖面，同时也十分注重数学思想方法的渗透，因而这一层次填空题的应试指导方面，要“知识与能力并举，思想和方法上同抓”。同时也要求考生在探求解题思路时要细致完整。 值得一提的是，考试说明中的部分C级知识点，若在解答题中没有涉及到，则必然会在填空题中加以体现。（卷2-10）已知函数f(x)sin xcos x的定义域为a，b，值域为1，则ba的取值范围是_运用数形结合的方法，借助于函数(x)sin xcos x的图象，便可以直观地得出结论。解析由条件可得，长度最小的定义域可能是，此时ba，长度最大的定义域可能是，此时ba，即ba的取值范围是（卷1-9）在ABC中，若AB1，则_若将两边平方，则误入了岐途，可能走不出来。本题应抓住的几何特征，得出四边形ABDC是矩形，这样解的思路就明朗了。解析如图，依题意，得|，所以四边形ABDC是矩形，BAC90 因为AB1，AC，所以BC2cosABC，|cosABC（卷1-10）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a8，b10，ABC的面积为20，则ABC的最大角的正切值是_解析由题意可以求出sin C，得到C有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值由SABCabsin C，代入数据解得sin C，又C为三角形的内角，所以C60或120若C60，则在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C84，此时，最大边是b，故最大角为B，其余弦值cos B，正弦值sin B，正切值tan B；若C120，此时，C为最大角，其正切值为tan 120 可能存在的问题：当求得C60或120后，有的考生以为最大角仅有C120，于是只填上. 考虑问题过于简单，思维层次太浅。（卷2-12）设平面点集A，B(x，y)|(x1)2(y1)21，则AB所表示的平面图形的面积为_分析：本题从表面上看，归结为计算图形的面积，但真要走这条路，似乎走不通，只能从图形的特征进行分析，利用对称性，及曲线y与直线yx的交点恰好是圆心这一条件即可求得。解析由题意知AB所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y与直线yx ，将圆(x1)2(y1)21分成S1，S2，S3，S4四部分圆(x1)2(y1)21与y的图象都关于直线yx对称，从而S1S2，S3S4，而S1S2S3S4，S阴影S2S4（3）第三层次填空题的应对策略这一层次的考题在难度上要明显高于前的几个题目，主要是起到提高区分度的作用。值得一提的是，去年的填空题表面上看上去比较简单，但实际考下来，均分和2012年相差无几，在一个理想范围内，从这一信息可以看出，今年填空题的难度不会象想象中的那样，会很难的填空题，综观前几年的高考卷，最后两个填空题一般有种两种类型：一是学生易上手去解，但该小题往往是由大题改造而来，综合性强，解题层次多，有半数左右的考生解不到底而失分。另一类是在问题的设计和解答方面有所创新，但不会太偏和怪，解答时需要一定创新思维和较强的解题能力。（卷213）设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为若存在，使得，则实数的取值范围是 解析 ，由得到在处的导数乘积为-1，即，那么. 求导得，可知当时，得到. （卷114）已知A，B，C是平面上任意三点，BCa，CAb，ABc，则y的最小值是_解析相对固定b,c，即把b,c视为常数，代数式y 随着正数a的变大而变小，要使y最小，只要a最大，因为A，B，C是平面上任意三点，且BCa，CAb，ABc，故a的最大值是bc，所以y，即最小值是2、解答题的应试策略与答题规范这几年来，解答题的布局相对稳定，难度方面把握得不是太好，有些波动。但总的来说，在知识点考查、设问方式等方面还是有一定的规律可循，给高考复习指明了方向。近几年高考卷上的解答题，层次非常分明。估计今年也不会出现太大的变化。为此，建议在最后阶段的复习中，要有针对性，要重视回归课本，在提高学生的熟练程度和正确率方面下功夫，同时也要注重答题规范的指导，不要出现“会而不对，对而不全”的局面。解答题的前两题，复习策略是“稳”，即确保稳得高分。前两题的特点重基础，考查学生的最基本的运算的推理能力。这两题的均分每年在11分到12分之间，送分比较到位，有利于稳定考生的心态和情绪。因而后阶段的复习，不宜加大难度。不出意外，第一题仍了以考查三角函数、三角变换（包括解三角形）和平面向量的运算为主，难度不会太大。整个解题过程是由运用若干公式和重要性质组成的解题链，抓住解题的关键结点，便可以得满分。评分的依据是公式的运用是否正确，每个公式或重要结论的运用必须在解答过程中完整呈现出来，但也在做到简洁明了。CBDA（卷2-15）如图，在中，为中点， 记锐角且满足（1）求； （2）求边上高的值分析：由已知得，故第（1）题实际上求的值，为求的值，须从中求出的值。因而，本题的解题链便是： 。第（2）题中，易得，由此可知，只须在中运用正弦定理求出，于是易得第（2）题和解题链如下： 。高考卷上的立体几何题，近几年的命题是最为稳定的，估计这种风格今年还将继续保持，若有变化，可能在设问方式方面，如将“两证”改为“一证一算”。近两年的立几证明题是阅卷过程中尺度最难把握、评判要求较为严谨的一个题。因而，在指导学生规范书写显得十分重要。对于数学证明题的评判，在定标准时，十分讲究“证据链”的完整，若遇到整体试卷较为容易时，不允许出现中间“掉链”，后面仍给分的情况。若遇到计算题，必的证明过程也不能少，而且占的比重也不少，也要引起足够的重视。中间两道解答题的复习策略是“争”，即力争多得分从以往几年的高考阅卷来看，中间两题是区分度最高的两题，这两题一般是由应用题和解几题组成，不同于前两题的是，它不仅考查学生的“双基”，而且还重点考查学生的阅读理解能力、实际应用能力、数学运算能力等，这些能力是将来进入高校所必须具备的基本能力，从这一点上说，这样布局是有一定道理的。先说说应用题，考虑到知识点的覆盖面，一般不会考查“纯数列”和“纯解几”型的应用题，主要还是下列三种类型为主：函数与方程型、函数与不等式型、三角函数与解三角形型，值得一提的是，高考卷上的应用题不会单考一种类型，往是是几种类型综合起来考。所以在考前的复习中，要多关注这几种类型的应用题的求解要点。（卷1-17）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%（1）若建立函数yf(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值分析：本题是函数与不等式型应用题。要明确两个小题分别要求解决什么问题？如何运用数学知识加以说明或证明。解析：设奖励函数模型为yf(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数yf(x)满足：当x10,1 000时，f(x)在定义域10,1 000上是增函数；f(x)9恒成立；f(x)恒成立(1) 对于函数模型f(x)2，当x10,1 000时，f(x)是增函数，故f(x)满足要求；由于x10,1 000时，f(x)是增函数，故f(x)maxf(1 000)229，所以f(x)9恒成立，故f(x)满足要求；但x10时，f(10)2，即f(x)不恒成立，故该函数模型不符合公司要求(2)对于函数模型f(x)，即f(x)10，当3a200，即a时递增；要使f(x)9对x10,1 000恒成立，即f(1 000)9,3a181 000，a；要使f(x)对x10,1 000恒成立，即，x248x15a0恒成立，所以a综上所述，a，所以满足条件的最小的正整数a的值为328关于应用题解答的解题规范的几点说明：由于应用题比较特别，因而首先要体现学生的建模能力，因而分值的分布主要有建模、解模、结论三部分组成。具体分值的多少视题目而定。若是函数与方程或函数与不等式模型，要求正确选对变量，要使模型完整（如定义域）。从阅卷情况来看，应用题失分的原因主要在于解模以及最后的结论处理。解几题，不管是考直线与圆，还是椭圆，其目的是考查解几的本质，即用代数方法研究有关图形的几何特征，因而在复习中，一是要重视抓“图形中已知和要解决的的几何特证”，二是要“合理的运用代数运算去解决相关的几何问题”。去年考查了直线与圆，大家普遍认为今年会考椭圆，本人认为，这个不是根本，因为即使考查椭圆，最后解决问题的重点知识还是直线与圆，因而在复习中，切不可轻视直线与圆中的知识与方法的复习。重点复习代数式的变换能力的提高，有些问题可以总结一些常见题型的解题套路。解几题的解答依靠代数式的变形达到目的，评分标准就取决于在解题过程中起重要作用的几个方程（等式）或点的坐标等。必须要交代这些方程（等式）或点坐标的源，可以省去繁锁的运算过程。哪些没有技术含量的变形与结果是不会给分的。（卷118）椭圆C:的左、右焦点分别是，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：PAB的外接圆经过定点解 (1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程，得y由题意知21，即a2b2，又e， 所以a2，b1 所以椭圆C的方程为 (2)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立 整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0 又，所以16yk28x0y0kx0，故k 所以直线l方程为，令x=0，解得点A,又直线m方程为,令x=0，解得点B,PAB的外接圆方程为以AB为直径的圆方程，即整理得：，分别令 解得圆过定点最后两个解答题（压轴题）的应对策略是“抢”，即尽可能多抢分去年最后两题不够理想，主要体现在区分度不够，估计今年的试卷在这方面会有所调整,真正起到提高区分度的作用.回顾11年和12年的数列题，虽然较难，但不失为好题，因为它考查是数列最本质的内容，即等差与等比数列的判断和通项公式的应用。从思想方法来看，主要考查了数列中常用的归纳推理及化归思想。能力要求较高，遇到障碍走不下去，考生人心服口服。对于数列题上的“抢”，可以从两个方面下手，一是可以安排一定的时间抢得第（1）题的分数，二是运用从特殊到一般的归纳思想方法，从探索规律入手，由条件出发去不断推出有用的结论或者将问题化归为特殊数列问题再加以解决，同时在解数列题的时候，要注意灵活应用特殊数列的表示方式和有关性质，简化运算。（卷120）已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和（1）若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列an的通项公式；（2）对任意正整数n，从集合a1，a2，an中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合()求a1，a2的值；()求数列an的通项公式解析 (1)设无穷等差数列an的公差为d，因为对任意正整数n都成立，所以分别取n1，n2时，则有：（特殊化思想）因为数列an的各项均为正整数，所以d0可得a11，d0或d2当a11，d0时，an1，成立；当a11，d2时，Snn2，所以因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1(2) ()记An1,2，Sn，显然a1S11对于S2a1a21a2，有A21,2，Sn1，a2，1a2，|1a2|1,2,3,4，故1a24，所以a23()由题意可知，集合a1，a2，an按上述规则，共产生Sn个正整数（明确Sn的意义很重要）而集合a1，a2，an，an1按上述规则产生的Sn1个正整数中，除1,2，Sn这Sn个正整数外，还有 an1，an1i，|an1i|(i1,2，Sn)，共2Sn1个数所以，Sn1Sn(2Sn1)3Sn1（转化思想！）又Sn13，所以Sn3n13n当n2时，anSnSn13n3n1，而a11也满足an3n1所以，数列an的通项公式是an3n1 最后两题中的一题一般是函数与导数、不等式有关的综合题，这一题的“抢”上一题相仿，从前几年的合题来看，命题者一般会从多参数函数入手，编制出一个全新（引入新概念、定义新函数等）的试题，重点考查学生的分类讨论和数形结合的思想方法运用的能力。对于今年会编出什么样具有新意的函数，这个无法预测，但最终要解决