高中数学二轮思维提升能力拓展专题研究性讲义.doc

97专题 集合、常用逻辑用语中相关问题的再研究 【易错题】1.（教L1例2）用列举法表示 2.（教L2基7）集合，若，则实数的取值范围是_ 3.（教L2例3）已知集合，满足且，则实数 4.（2011届高三苏州期末考试19题改编）不等式的解集为_ 5.（教L3基6改编）命题“”的否定为_6.（教L3基8改编）函数为奇函数，则实数的取值集合为_ 7.（同心圆梦3）满足的集合共_组；满足集合关系的集合共有_组8.（三角形中的充要关系的判断）在中，是的_条件；在中，是的_条件；在中，是为锐角三角形的_条件【专题研究、方法梳理】专题1：整数型（整除性）问题研究类型1：方程型的整数型（整除性）问题引例1（理科做）：已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？引例2：已知，问是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由？类型2：不等型的整数型（整除性）问题引例3：已知数列的通项公式为，是其前n项的和，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由.练习：1.已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于 _2. mN，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 _3. 函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值的和为_4. 设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得，则触题生情：求函数的值域.（有几种方法？哪种方法能体现本题的原型？）问题源头分析：不定方程问题.【高考试题背景探源】（2012年江苏20）已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值5. 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中前三项依次成公差为d（d0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 _ 专题2：集合与不等式恒成立（有解）的问题研究引例：已知集合，集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；总结：不等式恒成立问题的相关转换策略，请分析下列恒成立的等价条件：1. =，其中ab0，有对一切xR恒成立；2. 函数，对任意都有成立；3. 函数（），若在区间上是减函数，且对任意的，总有；4. 已知函数，若存在，使得；5. 已知，若对，；6. 函数，若对任意的，总存在，使成立；7. 上题条件改为“若存在，总存在，使成立”呢？8. 函数，若对于任意的，均存在以为三边长的三角形.练习：已知函数定义在区间a, b上，设“”为函数在集合D上最小值，“”为函数在集合D上最大值.设，()；，()若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”（）若函数，试写出、的解析式；（）若m0，函数是上“第3类压缩函数”，求实数m的取值范围专题3：一类集合交集非空问题研究引例：（教L2例4）集合，若，则实数的取值范围是_ 变式1：（2011年江苏14）设集合，若，实数范围是_变式2：设, 若 则实数m的取值范围是_.专题4：两组数列元素所成集合的交并集合的元素问题研究引例1：两个集合和都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合中元素的最大值为_引例2：设数列an的通项公式为为数列bn的通项公式为bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合AB中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，则cn的通项公式为_专题5：数列隔项成等差（等比）数列问题研究引例1：（教L4例2）已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是拓展：若数列为公差为的等差数列，试探究数列为等差数列的充要条件，并加以证明.引例2：已知正项数列满足，求证：数列为等比数列的充要条件是.拓展：若正项数列满足：数列为公比为的等比数列，试探究数列为等比数列的充要条件，并加以证明.练习：数列满足，则的前项和为_；专题6：复合函数的零点问题研究引例1：（教L4例4）已知函数，集合，. 若为单元素集，试求的值.引例2：已知，函数，如果函数与函数有相同的零点，试求实数的取值范围.【高考试题背景探源】（2012年江苏高考）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数练习： 1. 函数方程有7个根的充要条件是_2. 已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_3. （2007年江苏高考20）已知是不全为零的实数，函数，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）=0的根，反之，g（f（x）=0的实数根都是f（x）=0的根.（1）求的值；（2）若a=0，求的取值范围.专题 函数中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该能够处理下列问题：1. 含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次问题2. 简单的复合函数、含分式的复合函数、含根式的复合函数、多元变量函数的值域和最值问题；3. 恒成立问题中参数范围的局部缩小策略4. 函数型方程（不等式）常见求解策略5. 常见的八类非基本初等函数的问题研究八类函数分别是：尖底、平底型折线函数、型函数、牛顿三叉函数、可化为二次函数的绝对值型的复合函数、对数与绝对值函数的复合函数、指数与绝对值函数的复合函数、对数与双曲线型函数的复合函数、对数与二次函数的复合函数6. 二次函数的零点分布问题、最值问题7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式问题8. 函数与方程有三种等价语言的转化问题【易错题】1.（教L6练7）已知函数的定义域为，值域为，则的定义域为_；值域为_ 2.（教L6练8）已知函数的图像与的图像关于点对称，则的解析式为_ 3.（教L7基8）函数的值域为_；函数的值域为_；函数（）的值域为_；的值域是_4.（教L8基6改编）函数的单调增区间为_已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 5.（教L9例3）设为函数的对称中心，则必有恒等式_根据上述结论，写出函数的一个对称中心为_6.（双对称性问题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数.若方程在区间上有四个不同的根，则7.（教L9练5）已知函数若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_ 变式1：已知数列是单调递增数列，且通项公式为则实数的取值范围是_ 变式2：函数f(x)=在R不是单调函数，则实数的取值范围是 _ 变式3：函数,其中. 若对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,则的取值范围为_变式4：已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-，+)总是不单调则a的取值范围是 8.（教L12例3）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 9. （教L14基3）已知函数是定义在上的单调函数，若，则函数的零点个数为_ 10. 抽象函数虽然抽象，但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象性质，请各找出一个满足下列条件的基本初等函数：（1）_；（2）_11. （教L16练4）已知偶函数满足，当时，则 12.求的最小值为_（注重对结构的认知）拓展1：已知满足则的最大值为_拓展2：设为实数，且满足关系式，则【专题研究、方法梳理】专题1：含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次研究引例1：（教L6练9）函数的图像上有两点，且轴，点，其中，（1）试写出用点的横坐标表示面积的函数解析式；（2）记的最大值为求练习：已知函数，且（1） 试用含有的式子表示；（2）求的单调区间专题2：简单的复合、含分式的复合、含根式的复合、多元变量函数的值域和最值问题第I类：简单的复合函数引例1：；第II类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数的值域为_，曲线的对称中心为_；若添加条件，则值域为_；根据以上结论直接写出函数的值域：；引例3：求函数的值域 变式：求函数的值域变式：求函数（）的值域引例4：求函数的值域第III类：带根式的复合函数引例5：求函数的值域；思考：根式函数的值域如何研究？引例5：求函数的值域；变式1：求函数的值域；变式2：求函数的值域；变式3：求函数的值域；变式4：求函数的值域；思考：一般地，求函数（其中）的值域如何研究？第IV类：构造法求函数的值域问题引例6：求函数的值域是_探究拓展：多元函数的最值问题研究1.设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 _2.已知点到原点的距离为1，则的最大值为_3.，对于任意实数，的最大值为_4.已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是 _专题3：恒成立问题中参数范围的局部缩小策略引例1：（教L7例4）若函数的定义域与值域均为区间（），求实数的取值范围.引例2：已知函数，其中是自然数的底数，.若在上是单调增函数，则的取值范围为_练习:1. 设aR，若x 0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，则a=_2. 对于总有成立，则= 3. 设f(x)奇函数，当时， f(x)2xx 2，若函数f(x)(xa，b)的值域为，则b的最小值为_ ，实数的取值集合为_ 专题4：函数型方程（不等式）的常见求解策略 引例1：（天津高考）已知函数，若，则实数的取值范围是_ 引例2：实数，函数，若，则= _练习：1.函数f(x)=,则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是_ 变式：函数则满足不等式的的范围是_2.已知，求满足的所有实数a专题5：八类常见非基本初等函数的问题研究函数模型一：尖底、平底型折线函数（且是等差数列）它的图像是什么？一定是轴对称图像吗？若是，对称轴是什么？最小值何时取得？引例1：函数的最小值为_引例2：设函数的图像关于直线对称，则的值为_练习：，且，则满足条件的所有整数的和是_变式：下列命题中真命题的序号是 _（1）是偶函数；（2）在上是增函数；（3）不等式的解集为；（4）方程有无数个实数解拓展：已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值函数模型二： 型函数函数的图像和性质如何研究？引例：函数的定义域是，若对任意的，都有，则实数的取值范围是_ 练习：已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_函数模型三：牛顿三叉曲线称为牛顿三叉曲线.运用数学方法，总结“牛顿三叉”函数的图像和性质练习：1.已知函数在上为增函数，则的取值范围为 变式：若条件改为上为减；上为增；上为减，结论分别如何？2.已知二次函数的图像以原点为顶点，且过点（1，1），反比例函数的图像与的两个交点间的距离为8，。试判断当时，关于的方程的实数解的个数为 函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数引例1：已知，函数（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知，函数.求函数在区间1,2上的最小值.练习：1. 已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 变式：函数在上有最大值，则实数的取值范围是_2. 已知函数，其中，且.（1）如果函数的值域是，则实数的取值范围为_；（2）如果函数的值域是，实数的最小值为_函数模型五：对数和绝对值函数的复合型函数引例：已知函数,.（）当时,求函数在区间上的最大值；（）若恒成立,求的取值范围；（）对任意,总存在惟一的,使得成立,求的取值范围.函数模型六：指数和绝对值函数的复合型函数引例：（2008江苏卷20）若，为常数，且（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）函数模型七：对数与双曲线型函数的复合型函数引例：设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.（1）设函数，其中为实数（i）求证：函数具有性质； （ii）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质.给定设为实数，且，若|，求的取值范围.思考：（1）由题定义，给出下列四个函数： f(x)x3x2x1； f(x)lnx； f(x)(x24x5)ex； f(x)，其中具有性质P(2)的函数是 _ （2）已知是定义在上的单调函数，实数，若，则的取值范围为_函数模型八：对数与二次函数的复合型函数引例：已知函数，且在处取得极值（1）试找出a，b的关系式；（2）若函数在上不是单调函数，求的取值范围；（3）求函数在的图像上任意一点处的切线斜率的最大值专题6：二次函数的系列问题研究问题1：二次函数的零点分布问题引例1：二次函数，方程的两根和满足（1）求实数的取值范围；（2）试比较与的大小并说明理由引例2：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围练习：设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是_变式：设函数，函数，若不存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是_问题2：二次函数的最值问题引例：（2009年江苏高考）设为实数，函数. （1）若，求的取值范围；（2）求的最小值； （3）设函数，直接写出不等式的解集.解法思考：第（2）、（3）问有没有其他解法？对第（2）问解法的思考与拓展（双最值问题） ：1. 任意两个实数定义运算“”如下：，函数的最大值. 2. 设，其中表示两数中最小的一个数，则的最大值为 .3. 已知均为正实数，记，则的最小值为 问题3：二次函数的综合问题引例：已知函数（1）若函数定义域为，求实数的取值范围；若值域为，结论如何？（2）若函数在区间和上单调递减，求实数的取值范围；（3）是否存在整数（其中），使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 专题7：高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些？引例1：（教L11例3）已知均不为1的正数满足，且，则 引例2：已知等式，其中ai（i=0，1，2，10）为实常数，则 的值为_练习：1.（2012江苏数学联赛初赛）设为正实数，则的取值范围是_2. 设实数x,y满足38，49，则的最大值是 专题8：函数与方程的三种语言的等价转化问题引例1：（教L14例3）已知函数在区间内有零点，则实数的取值范围是_ 引例2：（教L14例4（3）设函数 其中.若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是_ 练习：1.已知函数且，试就的不同取值情况，讨论函数的零点个数 2.若函数且有两个零点，则的取值范围是_ 变式：若存在实数m使得（其中成立，则实数的取值范围是_ 专题 导数中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该会处理以下问题：1. “函数在某区间上是增函数（减函数）”和“函数在某区间上存在单调增区间（减区间”分别如何处理？2. 你知道什么是洛必达法则（LHospital）？它可以用来优化什么问题？【易错题】1.（教L17基1）水波的半径以的速度向外扩展，当半径为时，圆面积的膨胀率是_ 2.（教L17巩1）半径为的圆受热均匀膨胀，若半径增加了，则圆面积的平均膨胀率是_ 3.（教L17巩4）已知点在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围_ 4.（教L18练6）已知函数在处有极值，则变式：已知函数，其中若函数仅在处有极值，则的取值范围是 5.（教L18练8）设，其中为正实数.若为上的单调函数，则的取值范围为_ 6. 已知函数既有极大值又有极小值，实数的取值范围是_7. （教L19基2）函数，则它的单调递增区间为_8.（公切线问题）曲线；曲线的一条公切线过点，则实数 9.（教L19基8）对于函数的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值； 乙：该函数的极大值必大于1丙：该函数的极小值必小于1； 丁：方程一定有3个不等的实数根这四种说法中，正确的个数为_ 【专题研究、方法梳理】专题1：导数问题中两类问题的辨析引例：设（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； 练习：设函数，（1）若，求函数在上的最小值；（2）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（3）求函数的极值点专题2：洛必达法则（LHospital）简介引例1：（2010年新课标全国卷（理）设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围.引例2：（2010年湖北理科卷）设函数的图像在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围.练习：1. 设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，则实数a的取值范围为_2. 若对任意的都成立，则的最小值为 .专题 三角函数、平面向量中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该掌握下列问题的处理方法：1. 三角函数中单位圆问题2. 三角函数中求值和求角问题3. 一类与三角函数图像有关的参数取值问题4. 平面向量中算两次思想5. 平面向量中一类向量系数和的取值范围问题6. 平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用7. 三角形中一个三角恒等式的深度研究8. 三角恒等变换公式的研究-一个错误引发的若干思考9. 平面向量与三角形四心问题的相关研究10. 对三角函数教材中两个问题的再研究与再思考11. 三角形中的三角问题研究【易错题】1.（教L20基7）已知角的终边上有一点，则2.（教L20基8）函数的值域为_ 3.（教L20巩4）函数的定义域为_练习：若，又是第二、三象限角，则的取值范围是_ 4.（三角函数中的图像重合对称问题）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于_；如果所得图像关于轴对称，则的最小值等于_ 5.（三角函数中的图像平移问题）将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像 6.（教L22巩3）函数）的图像如图所示，则7.（教L22练10） 若函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为 . 8.（教L24练8）已知函数的定义域是，值域是，则的值分别为_ 9.（教L25巩3）化简：的结果是_ 10.（教L27基6）在中，已知，则 11.（教L27基8）在锐角三角形中，则的取值范围是_变式:在周长为16的三角形中，=6，所对的边分别为，则的取值范围是 . 12.若，若两向量夹角为钝角，则实数的取值范围是_13.（教L32巩32）若复数满足，则的最大值为_ 14. 若平面向量满足：；则的最小值是_yCxOAB【专题研究、方法梳理】专题1：三角函数中的单位圆问题引例：2. 如图，为坐标原点，A、B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设（）当点A的坐标为时，求的值；（）若，且当点A、B在圆上沿逆时针方向移动时，总有，试求BC的取值范围练习：OP1P0P21.点P是单位圆上一点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到点，若点的横坐标为，的值等于 _2. 角（）的终边过点），则 专题2：三角函数中的求值与求角问题研究引例1：已知，则 变式1：已知，且，则 变式2：已知，且，求的值 思考：已知三角函数求角选用函数遵循什么原则？练习：1. 已知，且，则 2.（苏州2013届零模）已知为锐角，则练习：设为锐角，若，则的值为 _专题3：一类与三角函数图像有关的参数取值问题引例1：（教L23基7）有一种波，其波形为函数的图像，若在区间上至少有2个波峰（图像的最高点），则正整数的最小值为_ 引例2：已知，且在区间有最小值，无最大值，则_.练习：1.已知函数在区间上是单调函数，则正整数的值为_ 2.函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值 专题4：平面向量中的算两次思想引例：练习：在中，点分别在边上，且，与交于点，求及的值思考：算两次思想在整个高中数学教学和解题中有哪些部分还有涉及？至少说出两处.练习（理科做）：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法算两次（原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高。请结合二项式定理，利用等式，证明：（1）；（2）专题5：平面向量中一类向量系数和的取值范围问题引例1：如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 引例2.是圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围是_练习：1.（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知为锐角三角形的外心，若，且，则2.在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 . 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向若且，C点所有可能的位置区域的面积为 4. 若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 专题6：平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用引例1：在梯形中，是腰所在直线上的动点，则的最小值为_引例2：（2012南京一模）在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是_ABDCP练习：如图，梯形中，是上的一个动点，() 当最小时，求的值； () 当时，求的值.拓展：坐标法在解题中的应用1. 设关于 的方程在区间 内有相异的两个实根则实数的取值范围是 2. 已知是等差数列的前n项和，公差，且, 则 3. 满足条件的三角形的面积的最大值是 4. 如图在矩形中，已知，分别为矩形边，上的中点，是边上的点，且，则的值为_5.如图，点为半圆的直径延长线上一点，过动点作半圆的切线若，则的面积的最大值为_6在边长为的正三角形纸片的边上分别取两点，使沿线段折叠三角形纸片后，顶点正好落在边上（设为），在这种情况下，求的最小值专题7：三角形中一个三角恒等式的深度研究引例：在斜三角形中，求证：思考1：一般地，当满足什么条件时，能成立？（是怎么推导的？）练习1：在ABC中，若，则 练习2：（2012年江苏高考15题）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值思考2：在中，请你探究的取值范围思考3：设，证明下列问题：（1）已知，且，求证：条件的三个式子中至少有一个式子的值为0；（2）已知，求证：专题8：三角恒等变换公式的研究-一个错误引发的若干思考引例：（1）等式能成立吗？恒成立吗？（2）等式能成立吗？恒成立吗？思考1：设为锐角，（1）比较的大小，并说明理由；（2）比较的大小，并说明理由.思考2：试探究等式成立的充要条件.专题9：平面向量与三角形四心问题的相关研究是ABC所在平面上一定点，动点P满足：（1），点形成的图形一定通过ABC的 心（填外心、内心、重心、垂心）（2），点形成的图形一定通过ABC的 _ 心（3），点形成的图形一定通过ABC的 _ 心专题10：对三角函数教材中两个问题的再研究与再思考问题1：如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值研究1：有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上（如图所示），求这个内接矩形的最大面积研究2：如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形纸报上剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值及相应的角变式1：如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花.若，设的面积为，正方形的面积为（）用表示和；（）当固定，变化时，求取最小值时的角 变式2：某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为（），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和（1）试将表示为的函数；（2）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳问题2：（教材24页第7题）如图，已知是定角，分别在的两边上，为定长，当处于什么位置时，的面积最大？对习题的再研究：（1） 线段为定值的相关问题研究是定角，分别在的两边上，为定长，设，则： 当时，的面积有最大值；当时，的周长有最大值（2）线段过定点的相关问题研究如图，已知为定值,，过定点引线段，分别交、于（1）求证：当即是线段中点时，的面积最小；（2）是以为顶点的等腰三角形时，截线段的乘积最小拓展1：海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中（1）若, 求养殖场面积最大值；（2）若、为定点，在折线内选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积；（3）若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.拓展2：如图，已知为定值,，过定点引线段，分别交、于（1）求证：当即是线段中点时，的面积最小；（2）是以为顶点的等腰三角形时，截线段的乘积最小专题11：三角形中的三角问题问题1：判断三角形形状问题对于,有如下六个命题: （1）若 ,则为等腰三角形（2）若,则是直角三角形；（5）若,则是钝角三角形（6）若, 则是等边三角形 其中正确命题的序号为_问题2：三角形中的几个最值问题1. ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_2. 在中，若，且，则该三角形的面积的最大值为_问题3：测量问题（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？练习：如图，足球比赛场的宽度为a米，球门宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进。试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角正切值最大？（注：图中AB表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形）o专题 数列中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该掌握下列问题的处理方法： 1. 数列的单调性问题研究 2. 数列的有界性问题研究 3. 数列的周期性问题研究 4. 数列中的数阵（数表）问题研究 5. 等差数列中前项和的一类最值问题研究 6. 数列中的奇偶分析法问题研究 7. 数列中的项数问题研究 8. 交错数列求和问题研究 9. 数列中的存在性问题研究 10. 数列中的子数列问题研究 11. 数列中等差数列和等比数列的公共项问题研究 12. 一类证明问题的结构研究 13. 数列公式的结构问题研究 14. 数列中的不等关系问题研究 15. 数列与简易数论问题研究【易错题】1. 在数列an中，已知a1=1，an=an-1+an-2+a2+a1 (，则 变式：数列的前项和为，若，则= 2. 数列是等比数列是是等比数列的_条件（充分不必要）3. 已知三角形的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是_4. 已知数列的通项公式为若成等差数列，则的取值集合是_5. 已知等差数列的前n项和为，若， ，则下列四个命题中真命题的序号为 _； 6. 已知数列是等比数列，首项8，令，若数列的前7项的和最大，且，则数列的公比q的取值范围是 变式：已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是 7. 记数列的前n项和为Sn，若是公差为d的等差数列，则为等差数列时d的值为 8. 等差数列an和bn的前n项的和分别是 Sn和Tn，且，则=_，=_变式：已知等差数列an和bn的前n项的和分别是 Sn和Tn，且，则使得为正整数的的个数为_ 9.（教L35练7）设等差数列的前项和为，若，则，；若，则10. 已知是不为0的常数，则 11. 在等差数列中，前n项和，前m项和，其中，则的取值范围是 12. 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai+bj=ak+bl，则的值是 变式1 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai-bj=ak-bl，则的值是 变式2 数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=，则cn的通项公式为 【专题研究、方法梳理】专题1：数列单调性问题研究引例1：数列满足（为实常数），其中，且数列为单调递增数列，则求实数的取值范围为_变式1：通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是_ _变式2：数列满足（），最小项为第_项；最大项为第_项变式3：数列满足（为实常数，），最大项为，最小项为，则实数的取值范围为_变式4：数列的通项公式为，若对任意正整数，均成立，则实数的取值范围是_引例2：已知数列的通项公式为， 若对于一切的自然数，不等式恒成立,则实数的取值范围为_练习：设函数，数列是首项为，公差为2的等差数列，又，数列是递减数列，则的取值范围是 .引例3：（教L34例4）已知为两个正数，且，设，当且时，（1）证明：数列为单调递减数列；数列为单调递增数列（2）证明：专题2：数列有界性问题研究引例：已知各项均为正数的两个数列和满足：（2）设，且是等比数列，求和的值（背景探源见专题1）关于（1）的练习（抓住式子的整体结构特征证明数列问题，是整体思想的体现）：1.设，则数列通项公式=_ 2.各项都为正数的数列，其前项的和为，若，且数列的前项的和为，则= . 关于（2）的变式（数列有界性问题）：设数列an满足：an（nN*）是整数，且an+1an是关于x的方程x2( an+12)x2an+10的根（1）若a14，且n2时，4an8，求数列an的前100项和S100；（2）若a18，a61，且anan1（nN*），求数列an的通项公式专题3：数列周期性问题研究引例：已知数列满足（）（1）若，求数列的通项公式；（2）若（），用表示的前项的和；（3）是否存在，使得当时恒为常数？若存在，求出和；若不存在，说明理由；练习：数列满足，且若对于任意的，总有成立，则a的值为 .专题4：数列中的数阵（数表）问题研究引例1：（2008年江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 引例2：我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格第1列第2列第3列第列第1行1111第2行第3行第行（1）设第2行的数依次为，试用表示的值；（2） 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 （） 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由练习：已知整数数列满足：，.(1) 求数列的通项公式；(2) 将数列中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为，求的值；(3) 令 (为大于等于的正整数)，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.专题5：等差数列中前项和的一类最值问题研究引例：设等差数列的前项和为，已知，.（1） 求公差的取值范围；（2）求中的最大值思考1：等差数列的前项和为，若，则前多少项的和最大？思考2：若把条件改为“”，有类似的结论吗？思考3：一般地，若， ，则前多少项的和最大？思考4：若是等差数列，且，求证：；思考5：探究5的逆命题是否成立？即若是等差数列，且，且，则成立吗？为什么？练习1：（教L35基6）已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， 2：等差数列的前项和满足：，则当时，最大 3：在等差数列中，公差，、是方程的两个根. 是数列的前项和，那么满足条件的最大自然数专题6：数列中的奇偶分析法问题研究引例：已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.()求数列的最大项和最小项；()判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；()证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列练习：1：数列满足4n3(n)，当2时，则数列的通项公式为_2：数列中，.数列满足，（1） 若数列是等差数列，求数列的前项和；（2） 若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（3） 若，求数列的前项的和专题7：数列中的项数问题研究引例：已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把 中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列： ，即在和两项之间依次插入中个项，则 _练习：数列的的前项和是，且满足的前项和是(1) 证明：数列为等比数列；(2) 若，求数列的通项公式；(3) 对于（2）中的数列，若数列满足，在与之间插入个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数，使得数列的前项和？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由”专题8：交错数列求和问题研究引例：已知等差数列的首项为，公差为，若 对恒成立，则实数的取值范围是 _练习：已知数列满足数列满足，数列的前项和（1） 求数列的通项公式；（2） 令，为数列的前项和，求 ；（3） 若使不等式成立的自然数恰好有4个，求正整数的值.专题9：数列中的存在性问题研究引例1：已知数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项，若不存在，请说明理由引例2：已知等差数列的前n项和为，（1）求数列的通项与前n项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列练习：1. 公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S312（）求数列an的通项公式an及其前n项和Sn；（）记bnan，若自然数满足，并且成等比数列，其中，求（用k表示）；（）记cn，试问：在数列cn中是否存在三项Cr，Cs，Ct(rst，r,s,tN*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，