北师大版必修二 1. 7.3　球 学业分层测评.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为，则球的体积为()a.b.c.8d.【解析】设球的半径为r，截面的半径为r.r2，r1，r，vr3()3.【答案】d2.64个半径都为的球，记它们的体积之和为v甲，表面积之和为s甲；一个半径为a的球，记其体积为v乙，表面积为s乙，则()a.v甲v乙且s甲s乙b.v甲v乙且s甲s乙d.v甲v乙且s甲s乙【解析】64个半径都为的球，它们的体积之和为v甲64a3，表面积之和为s甲64416a2；一个半径为a的球，其体积为v乙a3，表面积为s乙4a2，所以v甲v乙且s甲s乙，故选c.【答案】c3.一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()a. cmb. cmc. cmd. cm【解析】设容器内的水面下降了h cm，则球的体积等于水下降的体积，即1322h，解得h.【答案】d4.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么该三棱柱的体积是() 【导学号：39292057】a.96b.16c.24d.48【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：设球的半径为r，则r3，所以r2.所以正三棱柱底面边长a4，其高h2r4，v(4)2448.【答案】d5.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，r，则球的表面积为() 【导学号：39292058】a.4(rr)2b.4r2r2c.4rrd.(rr)2【解析】法一：如图，设球的半径为r1，则在rtcde中，de2r1，cerr，dcrr.由勾股定理得4r(rr)2(rr)2，解得r1.故球的表面积为s球4r4rr.法二：如图，设球心为o，球的半径为r1，连接oa，ob，则在rtaob中，of是斜边ab上的高.由相似三角形的性质得of2bfafrr，即rrr，故r1，故球的表面积为s球4rr.【答案】c二、填空题6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_.【解析】如图所示，设球半径为r，底面中心为o且球心为o，正四棱锥pabcd中ab2，ao.po4，在rtaoo中，ao2ao2oo2，r2()2(4r)2，解得r，该球的表面积为4r24.【答案】7.如图1732是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_.图1732【解析】根据三视图可知，该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成，所以其表面积为ss半球s侧4121(2).【答案】(2)8.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1733所示)，则球的半径是_cm.图1733【解析】设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有r26r8r23r3，即2r8，r4.【答案】4三、解答题9.设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积. 【导学号：39292059】【解】设正方体的棱长为a，则6a224，a2，正方体内切球的直径等于其棱长，2r2，r1，故内切球的体积v内r3.外接球的直径等于正方体的对角线长，2ra，r，故外接球的体积v外r3()34.10.如图1734，半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.(其中bac30)图1734【解】过c作co1ab于o1，在半圆中可得bca90，bac30，ab2r，acr，bcr，co1r.ao1acsin 60r，bo1abao1，v球r3.v圆锥ao1rr3，v圆锥bo1rr3，v几何体v球v圆锥ao1v圆锥bo1r3r3r3r3.能力提升1.如图1735，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图1735a. cm3b. cm3c. cm3d. cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则mc862(cm)，bmab84(cm).设球的半径为r cm，则r2om2mb2(r2)242，r5，v球53(cm3).【答案】a2.已知a，b是球o的球面上两点，aob90，c为该球面上的动点，若三棱锥o abc体积的最大值为36，则球o的表面积为()a.36b.64c.144d.256【解析】如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥o abc的体积最大，设球o的半径为r，此时voabcvcaobr2rr336，故r6，则球o的表面积为s4r2144，故选c.【答案】c3.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_.【解析】如图，把四面体abcd补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2r，球的表面积s4r23.【答案】34.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a，求它的外接球的体积.【解】如图，作pe垂直底面abcd于e，则