北师大版必修四 3.1同角三角函数的基本关系1 教案.doc

第三章 三角恒等变形-3.1同角三角函数的基本关系1一、教学目标：知识与技能： 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角 函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明 三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.过程与方法通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.情感、态度与价值观通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.二重点难点 重点：课本的三个公式的推导. 难点：课本的三个公式的推导及应用.三、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教 四、教学过程（一）问题导学思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin290+cos290;(2)sin230+cos230;(3);(4).思路2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.(二)新知探究提出问题在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角应受什么影响?图1如图1,以正弦线mp、余弦线om和半径op三者的长构成直角三角形,而且op=1.由勾股定理有om2+mp2=1.因此x2+y2=1,即sin2+cos2=1(等式1).显然,当的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当 +, 时,有=tan(等式2). 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系. 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围. 问题可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,可以是任意角,在第二个等式中 +, . 在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切. 同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.（三）应用示例例1 已知sin=,并且是第二象限的角,求cos,tan的值.活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2+cos2=1,故cos的值最容易求得,在求cos时需要进行开平方运算,因此应根据角所在的象限确定cos的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin2+cos2=1,所以cos2=1-sin2=1-()2=.又因为是第二象限角,所以cos0.于是cos=-,从而tan=.点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan=-中的负号来自是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果.变式训练：如果cos=,且是第四象限角,那么cos(+)=_.解析:cos=,且是第四象限的角,sin=-.cos(+)=-sin=.答案:例2 已知cos=-,求sin,tan的值.活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限. 启发学生思考仅有cos0是不能确定角的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cos=-1).解:因为cos0,且cos-1,所以是第二或第三象限角.如果是第二象限角,那么sin= =,tan=,如果是第三象限角,那么sin=-,tan=-.点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.变式训练：已知cos=,求sin和tan.解:因为cos=0,且cos1,所以是第一或第四象限的角.当是第一象限角时,sin0.sin=.tana=.当是第四象限角时,sin0.sin=例3 已知tan为非零实数,用tan表示sin、cos.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sin或cos的值.由tan0,只能确定的终边不在坐标轴上.关于sin、cos、tan的关系式只有tan=,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cos,进而求出sin.解:因为sin2+cos2=1,所以sin2=1-cos2.又因为tan=于是由tan为非零实数,可知角的终边不在坐标轴上,从而cos=sin=costan=点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.变式训练：已知cos0,用cos表示sin、tan.解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sin=tan=五、课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数 值或已知的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式.3.注意公式的变形式的应用,如sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin=costan,cos=等.六、课后作业1.课时练与测七、课后记1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关