北师大版必修四 2.8 平面向量 小结与复习 教案.docx

第二章 平面向量-小结与复习一、教学目标：知识与技能：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理. :学 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|-|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： : xx 6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，=|cos= 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”过程与方法：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性二重点难点重点：平面向量的基本概念和基本解题方法难点：知识的综合运用能力三、教材与学情分析 平面向量部分有许多新的概念和独特的运算体系，学生掌握较为困难。在复习中一方面再次澄清基本概念，熟悉运算方法。同时从本章知识的整体上来理解和把握，在具体问题解决中加深理解和知识的综合运用能力。四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教 五、教学过程（一）知识梳理、构建 络1平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个2向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题3向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量4平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题5平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.（二）典例解析、归纳提升专题一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a0)共线存在唯一实数，使ba；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2y10；(3)向量a与b共线|ab|a|b|；(4)向量a与b共线存在不全为零的实数1，2，使1a2b0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点【例1】 设坐标平面上有三点a、b、c，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量i2j，imj，那么是否存在实数m，使a、b、c三点共线解法一假设满足条件的m存在，由a、b、c三点共线，即，存在实数，使，i2j(imj)，m2，当m2时，a、b、c三点共线法二假设满足条件的m存在，根据题意可知：i(1,0)，j(0,1)，(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)，由a、b、c三点共线，即，故1m1(2)0，解得m2，当m2时，a、b、c三点共线【例2】 已知a(1,2)，b(3,2)，若 a2b与2a4b平行，求实数 的值解法一向量 a2b与2a4b平行，则存在唯一实数，使 a2b(2a4b) a2b (1,2)2(3,2)( 6,2 4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)，( 6,2 4)(14，4)解得实数 的值为1.法二 a2b (1,2)2(3,2)( 6,2 4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)， a2b与2a4b平行，( 6)(4)(2 4)140.解得 1.专题二向量的夹角及垂直问题1求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模(2)cos ，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标2解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角【例3】 已知三个点a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)(1)求证：abad；(2)若四边形abcd为矩形，求点c的坐标以及矩形abcd两对角线所夹锐角的余弦值(1)证明a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)，(1,1)，(3,3)1(3)130，即abad.(2)解，四边形abcd为矩形，.设c点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得点c坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，8816，设与的夹角为，则cos .矩形abcd的两条对角线所夹锐角的余弦值为.【例4】已知向量a(4，2)，b(x,1)(1)若a，b共线，求x的值；(2)若ab，求x的值；(3)当x2时，求a与b夹角的余弦值解(1)a，b共线，2x4.x2.(2)ab，4x20.x.(3)当x2时，ab6，|a|，|b|.cos .专题三向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|，将它转化为实数问题，使问题得以解决【例5】 设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解法一|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.|3ab|2.法二设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab| 2.专题四平面向量与函数的综合问题平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识 络的构建，有力地考查了学生的综合能力【例6】 设0|a|2，f(x)cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.解f(x)1sin2x|a|sin