北师大版选修11 4.2导数在实际问题中的应用 课件（29张）.pptx

2导数在实际问题中的应用 1 生活中的变化率问题在物理学中 通常称力在单位时间内做的功为功率 它的单位是瓦特 在气象学中 通常把在单位时间 如1时 1天等 内的降雨量称作降雨强度 它是反映一次降雨大小的一个重要指标 2 最大值 最小值问题函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f x0 最大值或者在极大值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大值 应首先求出函数的极大值点 然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较 其中最大的值即为函数的最大值 函数的最小值点也有类似的意义和求法 函数的最大值和最小值统称为最值 特别提醒函数最值与极值的区别 1 函数在闭区间上若存在最大值或最小值 则最大值或最小值只能各有一个 具有唯一性 而极大值和极小值可能有多个 也可能没有 2 极值只能在函数区间的内部取得 而最值可以在区间的端点取得 有极值的不一定有最值 有最值的不一定有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处则一定是极值 做一做 1 下列说法正确的是 a 函数的极大值就是函数的最大值b 函数的极小值就是函数的最小值c 函数的最值一定是极值d 在闭区间上的连续函数一定存在最值 2 函数f x x3 3x2 12在区间 1 1 上的最大值与最小值分别为 解析 2 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0得x 0 x 2舍去 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 1时 函数取最小值f 1 8 当x 0时 函数取最大值f 0 12 答案 1 d 2 12 8 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 在解决实际优化问题时 若函数只有一个极值点 则极值点就是最值点 2 求解实际优化问题时 必须考虑变量的实际意义 从而确定其取值范围 3 如果f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的曲线 那么f x 在 a b 上存在极值和最值 4 函数y f x 在 a b 上连续 是函数y f x 在 a b 上有最大值或最小值的充分而非必要条件 5 如果函数f x 在 a b 上只有一个极值 那么这个极值就是相应的最值 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 已知函数f x ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 分析先求f x 利用极值条件建立a b的方程组 解方程组求a b 从而得到f x 解析式 再解不等式f x 0 或f x 0 确定f x 的单调性 最后由极大值求c 再求f x 在 3 3 上的最小值 解 1 f x ax3 bx c f x 3ax2 b f x 在点x 2处取得极值c 16 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 f x 在 2 上是增加的 当x 2 2 时 f x 0 f x 在 2 上是增加的 由此可知f x 在x1 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x2 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 c 16 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值步骤如下 1 求f x 在开区间 a b 内所有极值点 2 计算函数f x 在极值点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 若连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知函数f x x3 4x 4 1 求函数的极值 2 求函数在区间 3 4 上的最大值和最小值 解 1 由导数公式表和求导法则可得f x x2 4 解方程x2 4 0 得x1 2 x2 2 x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 现有一批货物由海上从a地运往b地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 a地到b地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度航行 分析 1 写出函数解析式时要注意函数的定义域 2 利用导数求最值 注意函数定义域的限制 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟解答应用题重点要过三关 1 事理关 需要读懂题意 知道讲的是什么事件 2 文理关 需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言 用数学式子表达数学关系 3 数理关 要求学生有对数学知识的检索能力 构建相应的数学模型 完成由实际问题向数学问题的转化 进而借助数学知识进行解答 对于这类问题 往往因忽视了数学语言和普通语言的理解与转换 从而造成了解决应用问题的最大思维障碍 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 已知函数f x x3 x在区间 a 10 a2 上有最小值 求实数a的取值范围 分析先求出函数f x 的单调区间与极值 然后结合图像建立关于参数a的不等式求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟注意函数在闭区间与开区间上最值的区别 当函数在开区间或无穷区间上存在最值时 最值点不是在区间的端点 而在极值点处取得 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3函数f x ax4 4ax3 b a 0 x 1 4 f x 的最大值为3 最小值为 6 则a b 解析 f x 4ax3 12ax2 令f x 0 得x 0 舍去 或x 3 当10 故x 3为极小值点 因为f 3 b 27a f 1 b 3a f 4 b 所以f x 的最小值为f 3 b 27a 最大值为f 4 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 实际问题中忽视变量的取值范围致误 典例 某厂生产一种机器 其固定成本 即固定投入 为0 5万元 但每生产100台 需要增加可变成本 即另增加投入 0 25万元 市场对此产品的年需求量为500台 销售收入 单位 万元 函数为r x 5x x2 0 x 5 其中x是产品售出的数量 单位 百台 1 把利润y表示为年产量的函数 2 年产量是多少时 工厂所得利润最大 易错分析本题常见错误是忽视对年产量x的讨论 由于市场对该产品的年需求量为500台 所以当年产量x大于500台时 利润与x的关系不同于当年产量x小于500台时 应使用分段函数表示 分段求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 利润y r x c x 2 0 x 5时 y 0 5x2 4 75x 0 5 y x 4 75 当x 4 75时 ymax 10 78 万元 当x 5时 y 12 0 25x 12 0 25 5 10 75 万元 年产量是475台时 工厂所得利润最大 纠错心得在利用导数解决实际优化问题时 要注意对问题中变量取值范围的分析 应结合实际意义确定变量的取值范围 在变量的可取值范围内解决最值问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知a b两地相距200千米 一只船从a地逆水到b地 水速为8千米 时 船在静水中的速度为v千米 时 8 v v0 v0为船在静水中的最大速度 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12千米 时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船在静水中的速度v应为多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1234 5 答案 b 1234 5 2 函数f x x cosx在 0 上的 d 最小值为1 最大值为 1解析 f x 1 sinx 0 所以f x 在 0 上是增加的 因此最小值为f 0 1 最大值为f 1 答案 d 1234 5 3 某一件商品的成本为30元 在某段时间内 若以每件x元出售 可卖出 200 x 件 则当利润最大时 每件商品的定价为 a 105元b 110元c 115元d 120元解析 利润为s x x 30 200 x x2 230 x 6000 s x 2x 230 由s x 0 得x 115 这时利润达到最大 答案 c 1234 5 4 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 做成一个无盖的盒子 则