苏教版选修44 极坐标系 学案.doc

4.1.2极坐标系学习目标重点难点1知道极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)2能学会广义极坐标下点的极坐标(，)与点之间的多对一的对应关系3已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化.重点：极坐标的概念，极坐标对称点的求法，极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标与直角坐标的互化.1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立如图，在平面内取一个定点o，叫作极点，从点o引一条射线ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系(2)点的极坐标的规定如图，对于平面内任意一点m，用表示线段om的长，表示以ox为始边、om为终边的角，叫作点m的极径，叫作点m的极角，有序实数对(，)叫作点m的极坐标，记作m(，)当点m在极点时，它的极径0，极角可以取任意值为了研究问题方便，极径也允许取负值当0时，点m(，)的位置可以按下列规则确定：作射线op，使xop，在op的反向延长线上取一点m，使|om|，这样点m的坐标就是(，)，如下图：2点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度(2)互化公式如上图，设m是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)如果限定取正值，0,2)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的点m的极坐标(，)化为直角坐标(x，y)的公式是点m的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的公式是预习交流1建立极坐标系的意义是什么？提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标与却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程总之，使用极坐标是人们生产生活的需要平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法2极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(，)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点m；(2)给定平面上一点m，却有无数个极坐标与之对应原因在于极角有无数个一、极坐标系中点的表示已知点m的极坐标为，其坐标也可表示为_或_答案：，kz，kz解析：一般地，如果点m的极坐标是(，)，那么(，2k)或(，(2k1)，kz都可以作为点m的极坐标以下四个点a，b，c，d，表示同一个点的是_答案：点a，c在极坐标系中，极坐标(，)与(，2k)(kz)，(，(2k1)(kz)表示同一个点特别注意，极点o的坐标为(0，)(其中可以取任意值)这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示二、对称性问题在极坐标系中，点a的极坐标是，则(1)点a关于极轴所在直线的对称点是_；(2)点a关于极点的对称点的极坐标是_；(3)点a关于直线的对称点的极坐标是_(规定0，0,2)答案：(1)(2)(3)解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的在极坐标系中，与点a关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是_(0，0,2)答案：解析：与a关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为，kz，而0，0,2)，所求坐标为.极坐标系中的点(，)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(，2k)(kz)关于直线对称的点的极坐标为(，2k)(kz)，关于极点对称的点的极坐标为(，2k)(kz)三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为a，b，c，d，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为a(3，)，b，c(2,2)，求它们的极坐标，其中极角0,2)思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可解：(1)根据xcos ，ysin 得a，b(1，)，c，d(0，4)(2)根据2x2y2，tan 得a，b，c.(1)把点m的极坐标化成直角坐标；(2)把点p的直角坐标(，)化成极坐标(0，02)解：(1)x8cos4，y8sin4，因此点m的直角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点p在第四象限，故.因此点p的极坐标为.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定的值，此时要注意点在坐标系中的位置及的范围1在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是_答案：解析：点(，)关于极点对称的点为(，)，故关于极点对称的点的一个坐标为，即.2点m的直角坐标为(，1)，则其极坐标为_(0,02)答案：解析：2，tan ，点在第三象限，.故点m的极坐标为.3点m的极坐标为，化为直角坐标为_答案：(2，2)解析：xcos 4cos42，ysin 4sin42，m(2，2)4写出与直角坐标系中的点(2,2)表示同一个点的所有点的极坐标_答案：(kz)解析：4，tan ，又点(2,2)在第二象限，.点(2,2)用极坐标表示为(k