北师大版必修四 2.2 第1课时 向量的加法 学案.doc

第1课时向量的加法核心必知1向量的加法法则三角形法则平行四边形法则作法已知向量a，b，在平面内任取一点a，作a，b，再作向量，则向量 叫作向量a与b的和，记作ab，即ab.已知向量a，b，在平面内任取一点a，作a，b，再作平行的b，连接dc，则四边形abcd为平行四边形向量叫作向量a与b的和，表示为 ab.图示2向量求和的多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则，n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即3向量加法的运算律(1)交换律 abba；(2)结合律 (ab)ca(bc问题思考1三角形法则与平行四边形法则对两向量的起点有什么要求？提示 三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”2当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和等于什么向量？提示 零向量讲一讲1(1)如图已知abcd，o是两条对角线的交点，e是cd的一个三等分点，求作 (2)如图，已知向量a，b，c，求作abc.尝试解答(1)延长ac，在延长线上截取cfao，则向量即为所求在ab上取点g，使agab，则向量即为所求(2)在平面内任取一点o，作向量a，再作c，则ac，然后再作b，连接dc，于是向量abc即为所求(如图所示)1用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点2求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点练一练1如图，已知向量a，b，c，d，求作abcd.解 (1)在平面内任取一点o，作a，以a为起点，作向量b，则ab；(2)以b为起点作向量c，再作d，连接od.则向量abcd即为所求(如图)讲一讲2化简下列各式 .化简含有向量的关系式一般有两种方法 利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量练一练2. 下列向量的运算结果一定是零向量的是()讲一讲3一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d100 m，船的航行速度为v14 m/s，水流的速度为v22 m/s，试问当船头与水流方向的夹角为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？尝试解答 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设表示水流的速度，表示船的航行速度，以ad、ab为邻边作abcd，则就是船实际航行的速度设bac，bad，则相对于垂直对岸的速度为vsin ，小船行驶到对岸所用的时间为t，(0，)故当sin 1，即90时，小船行驶到对岸所用的时间最少，最少值为25 s.在rtabc中， 2， 4，tan 2.故当船头与水流方向的夹角为90时，小船行驶到对岸所用的时间最少为25 s，此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值为2.用向量解决实际应用问题，关键是把实际问题转化为向量模型，本题中小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可归结为 练一练3如图所示，两条细绳拉一个物体，两条细绳分别用力f1，f2，且 f1 3 n和 f2 4 n，夹角为90 .(1)作出这两条细绳的合力；(2)求合力的大小解 (1)作f1，f2以oa、ob为邻边作oacb连接oc，则f1f2即为所求(2)在rtoac中，oa3，ac f2 4， f1f2 5.故合力的大小为5 n.已知向量a，b的长度分别为8，2，试求 ab 的取值范围巧思向量a，b可能共线，也可能不共线，于是可考虑利用向量加法的三角形法则，数形结合求解妙解(1)若a，b共线，即ab，当a与b同向时，则 ab a b 8210；当a与b反向时，则 ab a b 826.(如图所示)(2)若a，b不共线，则向量a，b，ab对应的有向线段围成一个三角形，如图 由三角形的性质知， a b ab a b ，即82 a b 82，6 a b 10.故 ab 的取值范围为6，101若o，e，f是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()4设a表示向东走4 m，b表示向南走3 m，则 ab _ m.5.答案 56如图，d、e、f分别为abc三边的中点，试画出+.一、选择题1如图，在abcd中，下列结论错误的是().4下列命题如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a、b之一的方向相同；在abc中，必有0；若0，则a、b、c为一个三角形的三个顶点；若a、b均为非零向量，则 ab 与 a b 一定相等其中真命题的个数为()a0 b1c2 d3解析 选b对于，若a与b方向相反，且 a b ，则ab0，零向量的方向是任意的，所以不正确；正确；对于，若0，则a、b、c可能共线，所以不正确；对于，当a，b不共线或反向时， ab a b ，不正确二、填空题5若正方形abcd的边长为1，a，b，则 ab _.解析 ab .答案 6如图，已知abc是直角三角形，且a90，给出下列结论 其中结论正确的是_(填所有正确结论的序号) ，所以正确；显然，正确答案 7在长江南岸渡口处，江水以12.5 m/h的速度向东流，渡船的速度为25 m/h，渡船要垂直渡过长江，则航向为_解析 如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意， 12.5， 25，bdo为直角三角形，所以sinbod.bod30，航向为北偏西30.答案 北偏西308已知a、b、c是非零向量，则(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ab)，c(ba)中，与向量abc相等的个数为_个解析 根据向量加法的运算律，题中5个式子与abc均相等答案 5三、解答题9如图所示，o是四边形abcd内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使ab，cd，并画出bc和ad.解 (1)，a，b，c，d的方向如图所示(2)根据平行四边形法则，以ob、oc为邻边作平行四边形obec，以oa、od为邻边作平行四边形oafd，连接oe、of，则bc，ad，如图所示10在重300 n的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30、60(如图)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小解 如图所示，作平行四边形