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科学分析数据 准确推断结果青岛版义务教育教科书数学八年级上册第四章“数据分析”介绍山东沂南教育局（276399） 李树臣【发表在湖北中学数学2014年第7期】对于义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称课标（2011年版）界定的“统计与概率”部分的内容，青岛版教科书是独立于其它部分单独设计编写的，共有三章，其中统计两章，概率一章，每个年级各安排一章。八年级上册第四章“数据分析”是这三章中的第二章，主要研究平均数（加权平均数）、中位数、众数以及方差等统计量的意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散程度，经历用样本平均数和方差估计总体平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。一、本章内容概述与课程学习目标1.知识结构图实际问题情境数据的集中趋势数据的离散程度平均数中位数众 数加权平均数方差用样本估计总体用计算器计算平均数和方差2.内容概述本章教科书共分六节。4.1节在上一学段学习了“平均数”的基础上，引入加权平均数的意义和计算公式。对于加权平均数概念的学习，教科书在“交流与发现”栏目中围绕两个实际问题设计了一系列的小问题，引导学生通过独立思考、相互交流、进而自主发现新知识。第一个实际问题是求“三种价格不同、质量不同的糖混合后的单价”，这实际上是一个计算加权平均数的问题。教科书由小亮和小莹分别给出一种解法，从而得到两种不同的答案：小亮利用直接求平均数的方法，求的是三种糖单价的平均数，得到结果是（元）。小莹则用混合后什锦糖的总价格除以总质量的方法得到（元）。显然，小亮的解法是错误的，为了让学生自己找到产生错误的原因，从而得到正确的解法，教科书引导学生进行思考与交流，通过分析、比较、讨论等活动，学生对“权”的意义和作用将会有初步的认识。接着，教科书对小莹列出的算式进行下述变形：（元）。目的是为了使学生进一步感受一组数据的平均数不仅与组中各个不同数据的大小有关，也与各个不同数据在总体中所占的比重，即各个数据影响平均数大小的重要程度有关。为了更好的说明这一点，教科书给出了第二个实际问题计算“平均每个工人日加工零件的个数”，这也是求加权平均数的问题，通过这个问题使学生再次感受如果各个数据出现的次数与总数的比值不同，在计算平均数时它们的重要程度也不相同。由此引出数据的权的概念和加权平均数的计算公式。为了突出“权”的意义和它能够反映数据的相对“重要程度”，教科书给出了计算k个数据的加权平均数公式：，这里，是这k个数据的权。为引导学生加深对加权平均数的理解，学会利用它解决实际问题，教科书安排了3个例题，它们都是与学生生活密切相关的实际问题，目的是从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数的意义。其中例2还体现了用样本估计总体的思想，使学生对抽样的必要性、样本的代表性有了更深刻的体会。4.2节教科书以学生熟悉的生活情境为素材，通过“观察与思考”设计了数据整理、描述数据和分析数据的活动，让学生亲自动手把一组数据按大小次序排列，找出处于中间位置的数，引出中位数的定义。使学生从中体会中位数可以描述一组数据的一般水平和集中趋势。学生在思考、解答给定问题的同时，明确求一组数据的中位数必须掌握两个要点：其一，先把被考察的一组数据按照大小顺序重新排列；其二，当数据的个数为奇数时，位于正中间位置的数据就是中位数；当数据的个数为偶数时，位于正中间位置的两个数据的平均数就是中位数。这时中位数不一定是这组数据中的某一个数，每一组数据只有一个中位数。4.3节，教科书首先通过“交流与发现”设计了两个问题，在问题（1）中设计的“60双男鞋的尺码”问题情境中，出现了60个数据，人们关心的是重复出现次数最多的数据。问题（2）中设计的“某市日最低气温”情境中，提供了10数据，人们关心的是该市1月上旬多数日子的最低气温。在学生对这两个问题进行思考的基础上，概括出众数的概念。然后，教科书用表格给出了“某校50人组成合唱团的年龄”，并提出两个问题，引导学生进行观察与思考活动。问题（1）是让学生求合唱团50名成员年龄的平均数、众数和中位数，通过求解这个问题学生会明确平均数、众数和中位数的联系与区别；问题（2）是把一位25岁的教师换成一位45岁的教师，问合唱团成员年龄的平均数、众数和中位数有什么变化？目的是让学生在实际问题情境中体会个别极端数据的更换对中位数和众数不会产生影响，只会影响到平均数的大小，从而进一步感受它们的区别。最后为帮助学生更好的理解平均数、众数和中位数的意义，教科书设计了两个实际例题。例1来源于某公司员工的工资情况，通过解答这个实际问题，使学生感受在描述一组数据的集中趋势时，学会正确选择合适的统计量；例2以9名评委对歌手大赛中甲、乙两名歌手的得分为背景提出了四个小问题，通过解答这些问题，让学生经历数据的分组整理和分析过程，获得对统计活动的体验，并能根据具体问题的需要适当对数据进行处理，从而使得按照选择的统计量作出的评价更客观、合理。4.4节“数据的离散程度”在全章教材中具有承上启下的作用。教科书用“观察与思考”栏目以“时代中学田径队甲、乙两名运动员百米跑训练成绩”为例，提出了7个问题，引导学生进行观察、思考、交流等活动，目的在于使学生感受数据离散程度的意义。学生通过思考与交流发现，前面已经学过的平均数、中位数和众数可以反映一组数据的集中程度，但对于研究两组或更多组数据，仅仅关心每组数据的集中趋势是不够的，还需要了解数据的分布情况和偏离平均数的差异程度，由此引入离散程度的概念。4.5节研究了刻画数据波动情况的统计量。刻画数据离散程度的常用统计量有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等，根据课标（2011年版）的要求，本章只研究方差。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量。教科书首先仍然以上节课中甲、乙两名运动员百米跑训练成绩为例，通过“交流与发现”栏目，提出5个问题启发学生进行思考与讨论，问题（1）要求学生计算出两名运动员每次训练成绩与平均成绩的差，问题（2）是让学生观察解答问题（1）时得到的两组新数据，并说出其实际意义，目的是为给出离差的意义做好铺垫，教科书在小亮和小莹回答的基础上给出离差的概念。问题（3）是如何利用离差反映一组数据离散程度？教科书由小亮提出了一个非常简单、貌似合理的方案，通过小莹的具体计算与一般性的符号运算否定了这个方案，从而启发学生继续改进小亮的方案。问题（4）指出了用离差的绝对值之和反映一组数据的离散程度的不足，从而提出方差的概念和计算公式。并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的：即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。更有利于学生理解方差的意义，这样由问题（1）（4）完成了建立方差概念的完整过程。这种安排使学生经历了方差计算公式的产生过程，符合学生的认知规律，加深了学生对方差公式的理解，对于培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力具有积极的意义。问题（5）利用方差的定义解答了上一节提出的问题，通过这一实例，使学生认识到方差可以作为反映一组数据的离散程度的特征数。然后通过两个例题应用方差的计算公式解决一些简单的实际问题。例1含有两问，第（1）问是方差计算公式的直接应用，第（2）问是通过对两组样本方差的比较，推断总体离散程度的差异，培养学生运用样本推断总体的思想。例2是对本章所学的数据分析知识的综合运用。题目中通过折线图表达甲、乙两公司去年110月份汽车销售情况的信息，设计了三个不同方面的问题，需要运用不同的统计知识加以解决。4.6节主要介绍了用用计算器求平均数和方差的方法。不同品牌计算器在计算方差时操作的步骤是不同的，教科书结合“大雁dy-570科学计算器”对使用计算器求方差，做了简单的介绍。教科书在本章之后安排了一个“综合与实践”活动。本活动分为三个环节，第一，对每位学生的1拃通过实际测量采集原始数据。用“实验与探究”对如何确定1拃长度的意义，设计了6个活动，引导学生经历估计和度量右手、左手大拇指与中指、食指、无名指、小拇指指尖的距离的过程，感受对于通常人们所说的“1拃”作出一个统一规定的必要性和合理性。并且用“拃”作单位进行实际测量，体会拃在生活中的作用。第二，对调查得到的数据分男生、女生进行整理。用“观察与思考”栏目要求学生用每人选定的“1拃”的长度做为数据，分别统计全班男、女学生1拃长度的平均数、众数、中位数，选定合适的统计量作为代表，并判断自己的一拃长在全班数据中所处的位置。第三，对调查获得的数据的集中趋势和离散程度进行分析。为此，教科书用“小资料”栏目引入另一个统计量极差。极差是一组数据中最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度的最简单的统计量之一。这是在原有知识基础上进行的拓展，扩充了学生知识面。这样安排为学生提供了一个探究空间，发展了学生自主学习的能力，对于其创新意识的形成具有重要的价值。对于这个活动，要求学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理的知识和方法，自主参与、全过程参与，在参与过程中动脑、动口、动手，经历获取数据、分析数据的统计过程。在这个过程中，让学生进一步感受用样本估计总体的统计思想，体验统计是进行决策的有利手段。3.学习目标（1）结合具体情境，理解加权平均数的概念，能利用加权平均数的计算公式计算一组数据的加权平均数。（2）理解中位数的意义，能计算一组数据的中位数。（3）理解众位数的意义，能计算一组数据的众数。（4）了解中位数、众数、加权平均数都是为了描述数据的集中程度而引人的数学概念。（5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。（6）发展学生的数据分析观念，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想。（7）了解数据分析的过程，能用计算器计算一组数据的加权平均数和方差。（8）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能相互交流自己的见解。（9）经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。二、编写时重点考虑的两个问题1.注意突出统计思想统计中经常采用的方法是：从总体中抽出样本，通过分析样本的数据来估计和推测总体的情况，这种用样本估计总体的思想是统计的基本思想。本套教科书对于这种统计思想给予充分重视。在编写本章时，我们特别注意体现用样本估计总体的思想，使学生有更多的机会接触这一思想，使得他们对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性，以及不同的抽样可能得到不同的结果（即结论的“不确定性”）等有更多体会。本章在七（上）第4章“数据的收集、整理与描述”的基础上，主要研究了如何用样本的集中趋势和波动况估计总体相应情况的问题。例如在4.2、4.3节通过实例学习了如何用样本的中位数和众数估计总体的相应情况，在4.5节通过实例让学生学会用样本的方差推断总体的方差。2.注意从生活中选择材料数学来源于生活又服务于生活，数学中的许多知识点都有“生活”基础。因此，课标（2011年版）要求“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能的贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。”这里的现实，主要包括生活现实、数学现实和其他学科的现实。统计的知识在人们日常生活、自然、社会和科学技术中有着广泛的应用。在本章内容的呈现过程中，我们尽量从生活现实中选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，创设问题情境，这样不但可以使学生在学习描述数据的方法的同时，树立数据分析的观念，而且能增强学生的应用意识，培养学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，并从中感受统计对制定决策的重要作用。例如，在第4.1节中，教科书利用“求混合糖的售价”“车间工人日加工零件数”等实际问题来学习加权平均数，利用加权平均数在解决“卫生检查成绩”“学生身高”“招聘小记者”等实际问题的过程中体现加权平均数统计意义；在第4.2节中，利用“学生身高”引出中位数的概念，利用“某商场的营业额”“空气质量”“月用水量”等体现位数的应用。第4.3节利用“鞋店销售量”“气温变化”等学习众数的概念，用“公司员工的工资”情况等说明平均数、中位数和众数的应用。在第4.4节学习数据的离散程度和4.5节学习方差时都是用“两名运动员百米跑的训练成绩”作为背景展开的。在全章最后教科书选择了一个与学生生活密切联系的“由1拃的长引发的探索”作为“综合与实践”活动课题，使学生综合运用本章知识和方法进行统计活动。这种与实际问题紧密结合的编写方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，学习有关的统计知识和方法，体会统计的思想，同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系，以及统计在解决现实问题中的作用。这种编排方式符合课标（2011年版）提出的“问题情境建立模型求解验证”的要求。三、教学中注意的几个问题1.注意与学生已有知识的衔接本章是课标（2011年版）所规定的义务教育阶段“统计与概率”部分中有关统计内容的最后一章，所研究的主要是数据集中趋势和离散程度的知识与方法，这是第三学段“抽样与数据分析”的主要内容。对于数据的分析，课标（2011年版）对义务教育的每个学段都有要求：在第一学段，要求“通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵信息”；在第二学段要求“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”“能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流”。我们在编写本章内容时，注意了与前两个学段学生已有知识和经验的衔接。将三个学段的相关内容，在“分析数据”这个前提下统一起来，在对学生已有相关知识进行整理的基础上学习新的知识。根据课标（2011年版）对第三学段的要求，安排了“计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集趋势的描述”，“体会刻画数据离散程度的意义；会计算简单数据的方差”。以及在七（上）学习数据的整理和抽样时初步体会样本与总体关系的基础上，继续学习“通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差”等内容。由此可见，无论在深度和广度上，本章知识和方法都是前面已学过知识的延伸、拓展和提升。这种编排方式，将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此，教学中要注意恰当的把握教学起点，注意对已有知识的复习，在“温故知新”的基础上重点体现知识之间的内在联系，使学生对“抽样与数据分析”的知识和方法形成整体认识，感受数据分析是统计的核心，发展和加强学生的数据分析观念。2.准确把握教学要求课标（2011年版）在“教材编写”建议中强调“重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则”，对于统计中一些重要的思想方法，本套教科书便采用了螺旋上升的编排方式。例如，关于用样本估计总体的思想，课标（2011年版）在本学段的课程目标是“体验收集数据、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程”“了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念”。其课程内容要求是“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程”“体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差”等。虽然教科书在七（上）第4章“数据的收集、整理与描述”和本章对“用样本估计总体”的思想都有安排，但在要求上有不同的层次。七（上）第4章从收集数据的角度研究抽样调查，要求学生通过观察生活中的实例，了解普查与抽样调查，体会抽样调查的必要性，体验样本具有随机性，体会样本与总体的关系；而本章则从对样本数据进行分析的角度，通过较多实例，要求学生从不同的方面进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。因此，在本章教学时，要准确把握教学要求，更好的发展学生的数据分析观念，以便科学的进行推断决策等活动。3.引导学生进行探索活动与合作学习活动课标（2011年版）把数据分析观念作为课程内容的核心词之一，培养学生数据分析观念最有效的方式，就是让他们经历收集数据、整理、描述和分析数据活动的完整过程，积累统计活动的经验，加深对统计思想和统计方法的理解。通过数据处理，体验随机性。一方面对于同样