小学奥数36个经典（9-10）.doc

第9讲 整数分拆 1一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数 2一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(nr)个P 3把自然数S (S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大 4把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1 5若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法 即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数21个奇约数 6共轭分拆我们通过下面一个例子来说明共轭分拆： 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆 1写出13=1+3+4+5的共轭分拆【分析与解】 画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆 2电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等则该电视连续剧最多可以播出几天? 【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少 选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天 3若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子问：一共有多少只盒子? 【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数 现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=67，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数； 又因为42=143，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=212，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子 4机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色： 凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由 【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色 下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色 1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k2) 由于n10，所以k15，k23，2(k2)与4均为合数，且不相等于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色 2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k4) 由于n13，所以k6，k42，2(k2)4与9均是合数，且不相等也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色 所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k2)所以第2000个染红色的数是2000+10=2010 5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数 (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数 【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达种数.根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=22，最小的15(1、3、5、15)；有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：364+365；242+243+244；119+120+124；77+78+79+85；36+37+45；14+15+40 6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+14=15+16+17+20. 请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几? 【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图， 我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a部分面积为 (可以看成从1一直加到A)，b部分面积为BB(可以看作从1一直加到B再又加到1)； 有=BB 可以表示为奇数相邻的偶数2=BB； 其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2 因为相邻的两个数互质，所以，偶数2后与原相邻奇数也互质； 所以，奇数必定为完全平方数；偶数2也为完全平方数，这样： 奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数A=l，=122=1，于是为A+B=2，A+2B=3；所以为l+2=3； 奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数A=8，=892=36，于是为A+B=8+6=14，A+2B=8+26=20；所以为1+2+3+14=15+16+17+20； 还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足 奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足 奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数A=49，=49502=1225，于是为A+B=49+35=84，A+2B=49+235=119所以等式为l+2+3+84=85+86+87+119(=3570)所以所求的式子为1+2+3+84=85+86+87+119(=3570) 7把一个整数写成非零自然数的和的形式如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法另外，只使用一个自然数，也算做一种方法 (1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种： 6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种? (2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种： 3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种? 【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种 为了方便计算，不妨设xyz 当x=0时，y+z=50，y可以取025，z对应取值，于是有26组解； 当x=1时，y+z=49，y可以取124，z对应取值，于是有24组解； 当x=2时，y+z=48，y可以取224，z对应取值，于是有23组解； 当x=3时，y+z=47，y可以取323，z对应取值，于是有21组解；当x=4时，y+z=46, y可以取423，z对应取值，于是有20组解； 当x=15时，y+z=35，y可以取1517，z对应取值，于是有3组解； 当x=16时，y+z=34，y可以取1617，z对应取值，于是有2组解 所以，共有26+24+23+21+20+3+2组可能的值；我们知道有17个数的和，我们注意到这些数的规律，每个数是上一个数2,1，2，1，2，1；所以，我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+(3+2)=26+=26+(47+5)82=26+524=234 所以有234种不同的表示方法 (2)我们注意一下，把6也分成三个以内的数的和，如： 6=1+1+4 我们注意到从左往右看可以得到下面的数：1+1+4=6， 而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6，每个数都是3或3以下. 并且不光是6满足，其他的也满足，当把它从左到右排列成三个数以内的和，则从上到下一定是3以内的数的和.也就说是一一对应的，于是(1)的种数就是(2)所对应的种数即234种. 8洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干假设使劲拧紧后，衣服上还留有1千克带污物的水现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几? 【分析与解】 我们假设分成n次分别为x，y，z， 则每次漂洗的时候，总是加上上次剩下的l千克污水，则每次实际水量分别为： x+1，y+l，z+1， 则最后剩下了，要使最后残留的最少，只要分母最大即可 注意到当18全部分成2的时候，2+1即是3，也就是满足我们【内容概述】第3条了，此时分了182=9次，于是为. 但是我们还应注意到，当分的次数越多，分母的和越大如：当分成10次时，经过的水量变成18+10=28，则此时可以是8个3千克，2个2千克，此时为 于是考虑最极端的情况，我们把清水分成18次，此时经过的水量变成18+18=36，为18个2千克，此时对应因为每次必须是整数千克的水，所以不能再分 于是，当分成18次，每次1千克，此时剩下的污物残留量最少，为洗涤前的.第10讲 数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题 1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少? 【分析与解】 我们知道如果有5个连 续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。 所以n小于5:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0； 如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4； 所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当n为3时，有123的个位数字为6，234的个位数字为4，345的个位数字为0，不满足：当n为2时，有12，23，34，45的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足 至于n取1显然不满足了所以满足条件的n是4 2如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168 3如果某整数同时具备如下3条性质： 这个数与1的差是质数； 这个数除以2所得的商也是质数； 这个数除以9所得的余数是5 那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数 【分析与解】 条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件 其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14所以两位幸运数只有144在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=51111001 =357111337显然其最大的三位数约数为7775从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米? 【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米 6已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案 【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且abc，因为两两不互质，所以它们均是合数 小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=27，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数 所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】26=213，33=311，34=217，35=57，63=7，85=517，91=713，143=1113 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组： 将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组所以，至少要分成3组 8图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远 小圆周长为30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120 12030=412024=5所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B这时两只甲虫相距最远 9设a与b是两个不相等的非零自然数(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=22233，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨设ab:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值 总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值 (2)60=2235，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b为60的约数，不妨设ab ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是ab可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； 当a=30时，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5； 当a=15时，b可取4，12，所以ab可取11，3； : 当a=12时，b可取5，10，所以ab可取7，2总之，ab可以有11+3+4+2+2=22种不同的值 10狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米? 【分析与解】 由于=，= 所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒. 距离为9=40.5(米)11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【分析与解】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999198=59，所以共有518+9=99个这样的数 12甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍求A等于多少? 【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数 即603A=ak；(2939)A=bk；(4393)A=ck 于是有(1878603)A=ba；(18781572)A=bc；(1572603)A=ca 所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=173=51 于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍) 当A为51时，有60351=1142；93951=1821；39351=736不满足； 当A为17时，有60317=358；93917=554；39317