《信号分析与处理》备课教案(第六章)(3).doc

信号分析与处理教案 第六章：Z变换及其应用6.5. 离散系统的Z域分析 Z变换在离散时间系统的分析中获得了广泛的应用，其中基于Z变换方法的离散系统Z域分析内容十分丰富。以下对差分方程的Z域解法，离散系统的系统函数，以及利用的零极点分布进行离散系统的稳定性分析进行阐述。一、利用Z变换方法求解差分方程 差分方程有时域和Z域两种解法，通常采用Z变换方法进行求解比较简便。Z变换法解差分方程的过程可分两步：先将差分方程两边取Z变换，利用位移性质并代入初始条件，则差分方程变成Z域的代数方程；然后解该代数方程并进行逆变换以得到差分方程的解。为了方便起见，通常采用单边Z变换。 由第二章所学的知识，线性时不变离散系统的差分方程一般形式是即， （6.5-1） 将上式两边取单边Z变换，并利用Z变换的时移特性可得： （6.5-2）若激励，即系统处于零输入状态，此时表示系统的差分方程（6.5-1）即成为齐次方程： 而式（6.5-2）也将变成： 于是， （6.5-3） 对求逆Z变换，显然得到的就是系统的零输入响应，即。 该响应是由系统的初始状态，这里而产生的。 若系统的初始状态，这里，即系统处于零初始状态，此时式（6.5-2）变成 如果激励信号为因果序列，则有，因此上式成为： 于是，令，则有， 对求逆Z变换，显然得到的就是系统的零状态响应，即。 该响应是在系统的初始状态时，由因果信号的激励而产生的。 其中，就是下面将要讨论的离散系统的“系统函数”。 综合上述两种情况，系统的全响应就等于零输入响应与零状态响应之和，即 例1、若离散系统的差分方程为，其中，。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)零输入响应 因为零输入响应是在激励，仅由系统的初始条件而产生的响应，因此原差分方程变为： 对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得： 所以，因此，(2)零状态响应 因为零状态响应是在系统的初始条件的情况下，由因果信号激励下产生的响应，因此对原差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得： 所以，因此，(3)全响应 注意：在上面求和的逆变换而得到和时，虽然表面上似乎没有考虑收敛域的问题，实际是因为和均为响应，因此必然都是因果序列，因此其Z变换收敛域均是针对因果序列而言。例2、若离散系统的差分方程为: ，其中,。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)零输入响应 因为激励，即，仅考虑初始条件和，因此原差分方程变为： 对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得：将初始条件和代入，并整理得： 因此，(2)零状态响应 在因果信号激励下，系统方程为： 对该差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得： 所以，因此，(3)全响应 二、离散系统的系统函数 由时域分析已知，系统的零状态响应为激励与系统单位样值响应的卷积，即 将上式两边作Z变换，并利用Z变换的卷积特性可得： 这里，可见，称为离散时间系统的系统函数，它等于系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，同时与互为Z变换对。 对于线性时不变离散系统差分方程的一般形式： 在求解时，考虑到激励为因果序列，而对应与系统的零状态响应则初始条件为零，因此对上式两边取Z变换，则 即，所以，例1、求差分方程所描述的离散系统的系统函数和单位样值响应。解：设系统的初始状态为零，对差分方程两边作Z变换，可得： 所以， 所以，例2、已知某一离散时间系统的单位样值响应为，设系统的激励输入为，求系统的零状态响应。解：因为，即，又因， 所以， 所以，例3、某离散时间系统，已知当输入时，其零状态响应为： 求：(1)系统的单位样值响应 (2)描述系统的差分方程解：(1)由题目所给的条件，可得： 所以，所以，(2)由的表达式，可以得到： 上式两边同除以，可得： 所以，描述系统的差分方程为 即，三、系统函数的零极点分布与的关系 在离散时间系统中，由于通过Z变换建立了时间函数与Z域函数之间的转换关系，因此可以从Z变换函数的形式反映出时间函数的内在性质。对于一个离散系统来说，一般它的系统函数为有理分式，因此其分子分母多项式都可以分解为因子相乘，而相应的因子也分别表示了的零点和极点的位置，即 式中，和分别为的零点和极点；G为实常数，并设。 由于系统函数与单位样值响应是一对Z变换对，因此完全可以从零极点的分布情况，了解和确定单位样值响应的性质。 如果把展成部分分式，那么每个极点将决定一项对应的时间序列。若假设的所有极点都是一阶极点，那么可以展成部分分式为： 由此，可得系统的单位样值响应为(1)当时，极点在Z平面上的单位圆之外，可见的对应分量的幅度随的增加而增加；(2)当时，极点在Z平面上的单位圆之内，可见的对应分量的幅度随的增加而减小。(3)当时，极点在Z平面的单位圆上，的对应分量为一系列的的代数和。 如下图所示，为的一级极点分布与性质的关系，图中用“”标出了在Z平面上的位置及其对应的单位样值响应。 如果的极点中含有二极极点，即中包含有项，则相应的单位样值相应为： (1)当时，即极点在单位圆之外，则有 (2)当时，即极点在单位圆之内，虽然不是随的增加而单调减小，但有 (3)当时，即极点在单位圆上，则有 对于是更高极点的状况，其位置对性质的影响与是二极极点的情况类似。总结：如果的极点时，即极点在单位圆之内，则总有 四、离散系统的稳定性 离散系统的稳定性定义如下： 如果系统对任一有界输入（即对所有的都有，为有限的正常数），其响应都是有界的（即对所有的都有，为有限的正常数），则系统是稳定的。判定方法一：系统稳定的充分必要条件是其单位样值响应绝对可和，即 判定方法二：可以从系统函数在Z域的特性来判断，即如果的收敛域包括单位圆，则系统稳定。 例1、已知离散系统的系统函数为 其所对应的收敛域分别为：(1)；(2)试判断在这两种情况下系统的稳定性。解：(1)因为的收敛域为，可知系统一定为因果系统。由于的两个极点和均落在单位圆之内，因此可知系统是稳定的。(2)因为的收敛域为，可知系统一定为非因果系统。由于的收敛域不包括单位圆，因此可知系统是非稳定的。例2、描述某离散系统的差分方程为 试求：(1)系统函数并说明它的收敛域及系统稳定性；(2)单位样值响应；(3)若激励，求系统零状态响应。解：(1)由差分方程可以看出，系统为因果系统。设系统初始状态为零，将差分方程两边取Z变换，可得： 所以，可见，具有两个一级极点和；由于系统为因果系统，则的收敛域必为。 由于全部极点和均落在单位圆之内，因此可知系统是稳定的，即该系统是一个稳定的因果系统。(2)将展成部分分式，得到 （）取逆变换，即得到单位样值响应为 (3)若激励，则有 （）所以 （）所以本章小结与重点1、Z变换的基本概念 熟记Z变换的定义，理解Z变换收敛域的意义；掌握采用定义方法求解Z变换及其收敛域，熟记常用序列的Z变换和收敛域。2、逆Z变换 熟练掌握求解逆Z变换的三种方法，重点是留数法和部分分式法。这也是本章的重点内容之一。3、熟练掌握和灵活