平均值定理的运用.doc

一、什么叫做平均值定理？定理1：若 当且仅当a=b时取等号。定理2：若 当且仅当a=b时取等号。定理3：若a、b、c 当且仅当a=b=c时取等号。定理4：若 当且仅当a=b=c时取等号。利用以上定理可推广得如下极值定理：定理5：若那么当x=y时，xy有最大值，且等于定理6：若那么当x=y时，x+y有最小值，且等于定理7：若x、y、zR+，且x+y+z=p(定值)。那么当x=y=z时，xyz有最大值，且等于定理8：若那么当x=y=z时，x+y+z有最小值，且等于以上定理的证明详见高二代数课本P8-P10.二、你知道下面的题解错误在哪里？1.已知： 解： 2.求函数的最小值. 解： 3.已知求的最小值. 由(1)+(2)得， 4.已知：求函数的最大值. 解： 三、上面各题的错误分析及正确解法如下：1.错误分析：当且仅当三正数都相等时，等号成立。但这三数是不可能全相等的，故等号不成立。正确解法： 当且仅当 2.错误分析：当且仅当等号成立，显然此方程无解，正确解法： 是递增函数， 3.错误分析：当且仅当即a=1，b=1时，等式成立，这与已知条件a+b=1相矛盾，正确解法： 当且仅当时，等号成立. 4.错误分析：当且仅当这三正数都相等时，等号成立，但这是不可能的，正确解法： 当且仅当 四、平均值定理在求三角函数的最值中有广泛的应用。现举三例如下：例1.在锐角中，试证：证明： 即 即 当且仅当时，等号成立.例2.已知求的最小值. 解： 当且仅当 即例3.已知，求的最大值. 解： 当且仅当 五、高考中的应用题常常须用平均值定理求解。1.（97年、全国、22题）.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度千米/时的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域。（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为全程运输成本为 故所求函数及其定义域为 （2）依题意知S、a、b、均为正数，故有 当且仅当 则当全程运输成本y最小。 时， 当时，有 时，等号成立， 也即当时，全程运输成本y最小。 综上可知，为使全程运输成本y最小，当时，行驶速度应为行驶速度应为.2.（98年，全国、22题）如图：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。（A、B孔的面积忽略不计）。解法1 设y为流出的水中杂质的质量分数，则 为比例系数， 依题意，即所求a、b值使y值最小。 根据题意，有 （a0，b0） 得 于是 当，（-10舍去）时，取等号。 这时y达到最小值，把a=6代入（1）得b=3. 故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法2 依题意，即所求的a、b值使ab最大. 由题设知 即 当且仅当a=2b时，上式取等号。 由解得 即当时，ab取得最大值，其最大值为18. 解得 故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.六、自我检测：选择题：1. 若则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 非上述答案.2. 设x，y是满足x+y=4的正数，则xy的最大值是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 13. 若x，y均为正数，则x+2y的极小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 非上述答案4.设则（ ） A. F的最小值是8 B. F的最小值是9 C. F的最大值是8 D. F的最大值是95.函数的最小值是（ ） A. -2 B. 1 C. 1 D. 2解答题：6.若直角三角形的周长是P，求其最大面积.7.求内接于定球的正圆锥中的最大体积.8.设圆柱形的罐头底半径为r，高为h，容积为V，当V一定时，r和h满足什么关系，用料最省？参考答案与提示：解答题：6.设此直角三角形的两条直边分别为x，y，则斜边为，依题意设 当且仅当x=y.即已知三角形为等腰直角三角形时，它的最大面积为7.设球的半径为r，球心到圆锥底