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2006年复变函数与积分变换试卷一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）已知是解析函数，则= ，= ，= 。（2）设的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为 。（3）已知 ，则= 。（4）在处的伸缩率为 ，转动角为 。（5）设 则= 。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。） （1）函数在点处可导是在该点解析的（ ） （A）充分条件。 （B）必要条件。（C）充要条件。 （D）既非充分也非必要条件。 （2）将平面上的直线映射成平面上的曲线（ ） （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 （3）设曲线为单位圆，取正向，则积分（ ） （A）。 （B）。 （C）。 （D）0。 （4）级数（ ） （A）条件收敛。 （B）绝对收敛。 （C）发散。 （D）敛散性不定。 （5）是函数的（ ） （A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。三、（12分）已知调和函数 ，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（20分）计算下列积分： （1），其中为抛物线上从点0到点的一段弧； （2），：，正向； （3），：，正向； （4）。五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数： （1）； （2）； （3）。六、（10分）求将上半平面映射成单位圆且满足条件 的分式线性映射。七、（12分）应用Laplace变换解微分方程： 8、 （4分）设函数在区域内解析，且在区域内是一个常数，证明在内恒为常数。2006年复变函数与积分变换试题解答一、（1）1，-1，2； （2）； （3）； （4）12，； （5）.二、（1）B； （2）A； （3）D； （4）A； （5）C.三、.由得由，并比较（1）式，得，所以由得，所以四、（1）原式（2）都是的一级极点，但只有在内部.Res,Res.原式.（3）是的一级极点，是的二级极点。ResRes原式=.（4）在上半平面内有一个一级极点.Res原式五、（1） （2） （3）六、设，则由得，即，所以七、设.在方程两边取Laplace变换，得.将初始条件代入上式并整理，得.Re
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