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1把长为12厘米的细铁丝锯成两断,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形最小的面积之和是_解析:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4x)cm,两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4.令Sx20,则x2,所以Smin2.答案:2 cm22已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_解析:x0,yx281(9x)(9x),令y0,x9.x(0,9),y0;x(9,),y0,y先增后减,x9时函数取最大值答案:9万件3要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高为_解析:设圆锥的高为h cm,V圆锥(400h2)h,V(h)(4003h2)令V(h)0,得h2,h (cm)答案: cm4某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200x)件,当每件商品的定价为_元时,利润最大解析:利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6000,S(x)2x230,由S(x)0得x115,这时利润达到最大答案:115一、填空题1设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为_解析:设底面边长为x,高为h,x2hV,h.S表2x23xhx2,S(x)x,令S(x)0可得x,x34V,x.答案:2某车间靠墙壁要盖一间矩形小屋,现有存砖只够砌20 m长的墙壁,则应围成与墙平行的边长为_m,与墙垂直的边长为_m的矩形才能使小屋面积最大(门的大小忽略不计)解析:设与墙平行的一边长为x m,与墙垂直的一边长为y m,则x2y20,y10(0x0),则L2.令L0,得x16.x0,x16.当x16时,L极值Lmin64,堆料场的长为32(米)答案:32米,16米5做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为_解析:设底面半径为r,高为h,r2h27,r2h27,h.S表2rhr2r2.S(r)2r54r2,令S(r)0,r3.答案:36已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上,则这种矩形中面积最大的矩形边长分别为_解析:设位于抛物线y4x2(2x2)上的矩形的一个顶点坐标为(x,y),其中0x0,则另一个在曲线上的顶点为(x,y),在x轴上的两个顶点分别为(x,0),(x,0)设矩形的面积为S,则S2x(4x2)(0x2),则S86x2,令S0,解得x或x(舍去)当0x0;当x2时,S0),y,令y0,得x5,或x5(舍去)当0x5时,y5时,y0.因此,当x5时,y取得极小值,也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小答案:58横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是_解析:如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意,知当xy2取最大值时,横梁的强度最大y2d2x2,xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd),得f(x)d23x2,令f(x)0,解得x,或x(舍去)当0x0;当xd时,f(x)6),年销量为u万件,若已知u与(x)2成正比,且售价为10元时,年销量为28万件(1)求年销售利润y关于x的函数关系式;(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润解:(1)设uk(x)2,售价为10元时,年销量为28万件,28k(10)2,解得k2.u2(x)22x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108.(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令y0得x2(x6,舍去)或x9.显然,当x(6,9)时,y0;当x(9,)时,y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是关于x的增函数,在(9,)上是关于x的减函数,当x9时,y取最大值,且ymax135.售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元10某商场预计2011年从1月份起前x个月,顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)x(x1)(392x)(xN*,且x12)该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)1502x(xN*,且x12)(1)写出今年第x月的需求量f(x)与月份x的函数关系式;(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每年都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?解:(1)当x1时,f(1)p(1)37;当2x12时,f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x(xN*,且2x12)验证x1符合f(x)3x240x,f(x)3x240x(xN*,且1x12)(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)(3x240x)(1851502x)6x3185x21400x(xN*,且1x12),g(x)18x2370x1400,令g(x)0,解得x5,x(舍去)当1x0;当5x12时,g(x)0,当x5时,g(x)maxg(5)3125(元)综上5月份的月利润最大是3125元11统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当该种型号的汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少?最少为多少升?解:(1)当x40时,该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了100402.5(小时),耗油量为2.517.5(升)故当该种型号的汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油17.5升(2)当速度为x千米/小时时,该种型号的汽车从甲地到乙地行驶了小时,则耗油量为h(x)x2(0x120)求导数,得h(x).令h(x)0
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