北师大版选修44 2.3 参数方程化成普通方程 学案.doc

3参数方程化成普通方程对应学生用书p311代数法消去参数(1)代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程(2)代数运算法：通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程2利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得曲线的普通方程1将参数方程化为普通方程时要注意什么？提示：注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的2将参数方程(t为参数)化为普通方程是y2x3吗？提示：不是，应是y2x3(x1)对应学生用书p32将参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化成普通方程(1)(2)(3)(为参数)；(4)(t为参数)思路点拨本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解精解详析(1)由x得t，代入y化简得y(x1)(2)由x2yt1得tx2y1，代入yt2t1化简得x24xy4y2x3y10.(3)把y代入xa得xyatan ，(xy)2a2tan2，由题设得y2，因而x22xya20.(4)将ypt的两边平方得y2p2t22p2p(pt22p)把xpt2代入上式，得y2p(x2p)将参数方程化为普通方程的一般思路：先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论x，y的变化范围，并验证其两种形式下的一致性1(湖南高考)在平面直角坐标系xoy中，若直线l：(t为参数)过椭圆c：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_解析：由题设可得直线l：yxa，又由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0)，代入yxa得a3.答案：32把参数方程(t为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线解：由221，得x24y21，又11，得1x1.所求普通方程是x24y21(1x1)将x24y21转化为1，它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，短轴长为1，除去点(1,0)的椭圆.参数方程化普通方程的应用例2求曲线c1：(为参数)上的点到曲线c2：(t为参数)上的点的最短距离思路点拨本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要将曲线c1，c2的参数方程化为普通方程，转化为圆上点到直线的最短距离求解精解详析由曲线c1：(为参数)得两式平方相加得：(x1)2y21.得c1为圆心c1(1,0)，半径为1的圆对于曲线c2：消去参数t得直线方程xy210，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d2，所以最短距离为2.对于根据曲线的参数方程定形问题，位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题，直接求解有困难时，常将参数方程化为普通方程再求解3求参数方程(tr)与(r)所表示的图形相交所得的弦长解：由(r)消去得椭圆y21，将(tr)代入椭圆方程，化简得9t22t50，设该方程的两实根为t1，t2，则t1t2，t1t2.所求弦长为|t1t2| .4将曲线c：(为参数)化为普通方程，如果曲线c与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围解：x2(y1)21.曲线c是以(0，1)为圆心，半径为1的圆若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d1，解得1a1.a的取值范围为1，1本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点，主要考查参数方程化为普通方程及其应用，同时考查转化、运算求解能力，常与三角、解析几何等知识交汇命题考题印证在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)，曲线c2的参数方程为(ab0，为参数)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与c1，c2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明c1，c2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当时，l与c1，c2的交点分别为a1，b1，当时，l与c1，c2的交点分别为a2，b2，求四边形a1a2b2b1的面积命题立意本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化自主尝试(1)c1是圆，c2是椭圆当0时，射线l与c1，c2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与c1，c2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.(2)c1，c2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与c1交点a1的横坐标为x，与c2交点b1的横坐标为x.当时，射线l与c1，c2的两个交点a2，b2分别与a1，b1关于x轴对称，因此四边形a1a2b2b1为梯形，故四边形a1a2b2b1的面积为.对应学生用书p33一、选择题1参数方程(t为参数)表示的图形为()a直线b圆c线段(但不包括右端点) d椭圆解析：选c从x中解得t2，代入y，整理得2xy50.由t20解得0x3.所以参数方程化为普通方程为2xy50(0x3)，表示一条线段，但不包括右端点2下列双曲线中，与双曲线(为参数)的离心率和渐近线都相同的是()a.1b.1c.x21 d.x21解析：选by21e，渐近线为yx，经验证知b正确3方程(t为参数)表示的曲线为()a一条直线 b两条射线c一条线段 d抛物线的一部分解析：选bxt，当t0时，xt2.当t0时，xt2.y2(x2或x2)表示的曲线为两条射线4下列参数方程中，与方程y2x表示同一曲线的是()a. b.c. d.解析：选db中sin2t和sint都表示在一定范围内；a，c中化简不是方程y2x，而是x2y，故借助万能公式代入化简可知选d.二、填空题5椭圆(为参数)的焦距为_解析：椭圆的普通方程为1.c221，2c2.答案：26双曲线(为参数)的渐近线方程是_解析：化为普通方程是y21，它是由y21向右移3个单位长度得到y21的渐近线方程为：x3y0，原双曲线的渐近线方程为：x3y30.答案：x3y307(江西高考)设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_解析：消去曲线c中的参数t得yx2，将xcos ，ysin 代入yx2中，得2cos2sin ，即cos2sin 0.答案：cos2sin08(湖北高考)在直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程为(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆 o相切，则椭圆c的离心率为_解析：由题意知，椭圆c的普通方程为1，直线l的直角坐标方程为xym，圆o的直角坐标方程为x2y2b2，设椭圆c的半焦距为c，则根据题意可知，|m|c，b，所以有cb，所以椭圆c的离心率e.答案：三、解答题9(江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线c的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1，得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线c的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.10已知直线l：xy90和椭圆c：(为参数)(1)求椭圆c的两焦点f1，f2的坐标；(2)求以f1，f2为焦点且与直线l有公共点m的椭圆中长轴最短的椭圆的方程解：(1)由椭圆的参数方程消去参数得椭圆的普通方程为1，所以a212，b23，c2a2b29.所以c3.故f1(3,0)，f2(3,0)(2)因为2a|mf1|mf2|，所以只需在直线l：xy90上找到点m使得|mf1|mf2|最小即可点f1(3,0)关于直线l的对称点是f1(9,6)，所以m为f2f1与直线l的交点，则|mf1|mf2|mf1|mf2|f1f2|6，故a3.又c3，b2a2c236.此时椭圆方程为1.11已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)(1)将曲线c的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l与曲线c相交于a，b两点，试求线段ab的长解：(1)由得故圆的方程为x2y216.(2)法一：把(t