北师大版选修45 第二章 几个重要的不等式 章末复习课 学案.doc

章末复习课对应学生用书p48对应学生用书p48利用柯西不等式证明不等式由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂、根式的和、积、商的不等式中，应用的关键是根据要证明的不等式构造两个适当的数组，但要注意其取等号的条件实质上是：，这里某一个bi(i1,2，n)为零时，规定相应的ai为零例1设a，b，c为正数且abc1，求证：(a)2(b)2(c)2.证明左边(121212)222(19)2.原结论成立例2已知x，y，z是正实数，求证：.证明x，y，z是正实数，令a(，)，b(，)|ab|2|a|2|b|2，2(yz)(xz)(xy)，即：(xyz)22(xyz)x，y，z是正实数，xyz0.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值除平均值不等式外的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件例3求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故所求x，y.例4已知实数x，y，z满足x24y29z2a(a0)，且xyz的最大值是7，求a的值解由柯西不等式得：x2(2y)2(3z)22.因为x24y29z2a(a0)，所以a(xyz)2，即xyz.因为xyz的最大值是7，所以7，得a36，当x，y，z时，xyz取最大值，所以a36.利用排序不等式证明不等式由于排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关不等式中的重要依据，也就成为证明不等式时的一种重要工具，应用的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个方列是难点所在，且要注意等号成立的条件例5设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.证明(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式“反序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由“反序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.数学归纳法的应用数学归纳法一般用于解决与正整数n(nn)有关的等式、不等式以及大小比较、探索性等问题，常与数列交汇命题，在使用数学归纳法证明时，一般说 ，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“p(k)”是问题的条件，而命题p(k1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键例6证明：nn时，1248(1)n12n1(1)n1.证明(1)n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立(2)假设nk(k1)时，等式成立即1248(1)k12k1(1)k1.则当nk1时，有1248(1)k12k1(1)k2k(1)k1(1)k2k(1)k(1)k2k(1)(1)k2k(1)k，即当nk1时等式成立根据(1)和(2)知等式对任何nn都成立例7在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nn)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想解(1)由条件可得2bnanan1，abnbn1，则a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)证明：当n1时，由a12，b14知论证正确假设当nk时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即nk1时结论正确由知猜想的结论正确对应学生用书p49一、选择题1函数y的最小值是()a.b2c112 d.解析：y.根据柯西不等式，得y2(x1)22(3x)252(x1)22(3x)252(x1)(3x)(x1)(3x)2252112，当且仅当，即x时等号成立此时，ymin1.答案：d2若a，b，cr，且abc1，则的最大值为()a1 b.c. d2解析： .又abc1，故，当且仅当abc时取“”，最大值为.答案：c3若axxx，bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则a与b的大小关系为()aab ba0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()an01 bn02cn01,2 d以上答案均不正确解析：当n1时，左边x，右边11，而x2，即n1时不等式成立答案：a8已知x，y，zr，且1，则x的最小值是()a5 b6c8 d9解析：x29.答案：d9设a，b，c为正数，且a2b3c13，求的最大值为()a. b.c. d6解析：(a2b3c)(1)2()2，()2.当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c时，有最大值.答案：a10某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花()a17元 b19元c21元 d25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：15233217(元)答案：a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11已知x，y，zr，xyz9，则的最大值是_解析：()2(121212)(xyz)3927.3.当且仅当xyz3时取“”答案：312若xyzt4，则x2y2z2t2的最小值为_解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当xyzt1时，取最小值4.答案：413已知数列an的各项均为自然数，a11且它的前n项和为sn，若对所有的正整数n，有sn1sn(sn1sn)2成立，通过计算a2，a3，a4，可归纳出sn_.解析：由已知，得sn1sna，当n2时，snsn1a，两式相减，得an1anaa.an1an1，即an为等差数列，公差d1.a22，a33，ann.sn.答案：14三角形的三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆的半径若hahbhc的值为9r，则此三角形为_三角形解析：记三角形的面积为s，则2sahabhbchc.又因为2sr(abc)，所以hahbhc2s()r(abc).由柯西不等式，得(abc)()2()2()229.所以hahbhc9r，当且仅当abc时取等号故hahbhc9r时，三角形为等边三角形答案：等边三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知x，y，z(0，)，且xyz1，求证：81.证明：(xyz)281，故81，当且仅当，即x，y，z时，81.16(本小题满分12分)已知函数f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.17(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足5x4y3z10.(1)求证：5；(2)求9x29y2z2的最小值解：(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2，因为5x4y3z10，所以5.(2)根据平均值不等式，得9x29y2z2223x2y2z2，当且仅当x2y2z2时，等号成立根据柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100，即(x2y2z2)2，当且仅当时，等号成立综上所述，9x29y2z223218.当且仅当x1，y，z时，等号成立，所以9x29y2z2的最小值为18.18(本小题满分14分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145(nn)(1)求数列bn的通项；(2)设数列an的通项anloga(其中a0且a1)，记sn是数列an的前n项和，试比较sn与logabn1的大小，并证明你的结论解：(1)设数列bn的公差为d，由题意，得101d145，d3，bn3n2.(2)由bn3n2，知snloga(11)logalogaloga，logabn1loga.因此要比较sn与logabn1的大小，可先比较(11)