有价投资建模论文.doc

证券投资决策优化模型摘要： 针对有价证券投资的决策问题，我们在充分理解题意的基础上，提出合理的假设并采用了连续线性规划模型对本题进行了讨论和求解，解决了以下问题。对于问题一，我们通过确定目标函数，寻找约束条件，建立了线性规划模型，并用投资风险模型和目标规划进行了检验。在问题二中，利用对偶单纯形法建立影子价格模型来判断当投资者以一定的利率向银行借贷一定资金时，投资方案是否改变，并用问题一中模型进行了检验。关键字： 证券投资 0-1规划 决策目标 连续线性规划 加权算术平均值一 、问题重述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：一.政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元;二.所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；三.所购证券的平均到期年限不超过5年；表1 证券信息证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政（1）294.3B代办机构2155.4C政府（1）145.0D政府（2）134.4E市政（2）524.51. 若该经理有1000万元资金，应如何投资？2. 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？3. 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？二、模型假设1、假设证劵税收政策、信用等级、到期年限、到期税前收益在投资年限内稳定不变；2、假设该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的影响；3、假设各证劵的风险损失率为零，无相互影响，且投资不需要任何交易费；4、假设所借贷资金的利率不变（利息等于所给的利率乘上借贷资金再乘上借贷时间）。三、符号说明表2符号说明单位Xi投资证劵的金额（i=1,2,3,4,5）（万元）YJ是否投资证券（j=1,2,3,4,5）（万元）Z投资之后所获得的总收益（万元）F借贷金额（万元）T借贷时间（年）S贷款利息（万元）R利润变化量（万元）四、问题分析根据现有的投资方式，为解决投资方案问题，运用0-1规划和连续性规划模型，根据客观条件，来确定各种投资方案。利用线性规划模型，得到最优投资方案来解决已提出的问题，使该经理的投资获得最大的收益。问题1：在前面假设成立的条件下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi (i=1,2,3,4,5)分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的纯利润为Z，假设税前收益为年收益。对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。然后建立0-1规划模型，利用LINGO软件求解。问题2：该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，因此需要用总利润减去借贷利息所得到的值才为该经理的纯利润。再与借贷利息相比，可以得出投入100万元所得的收益。问题3：需要分两种情形，第一种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把A证券的税前收益增加为4.5%，同样可以得到线性优化模型。第二种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8%，同样可以得到线性优化模型。五、模型的建立与求解模型建立：对于问题1：在前面假设成立的条件下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi (i=1,2,3,4,5)分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的总利润为Z，假设税前收益为年收益。对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。我们建立了如下0-1规划模型：即 MaxZ=0.043X1*Y1+(0.0540.5)X2*Y2+(0.050.5)X3*Y3+(0.0440.5)X4*Y4+0.045X5*Y5 X1+X2+X3+X4+X5=400(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1变量)模型整理得：Max Z=0.043X1*Y1+0.027X2*Y2+0.025X3*Y3+0.022X4*Y4+0.045X5*Y5X1+X2+X3+X4+X5=4006X1+6X2-4X3-X4+36X5=04X1+10X2-X3-2X4-3X5=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5 (指定0-1变量)模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.84万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表：表3五种证券类型最优投入的资金方法证券类型ABCDEZ投资金额 （万元）218.180736.34045.4529.84数值Y1Y2Y3Y4Y5投资对象10101由运算结果可以看出对于B证券和D证券不需要投资。对于B证券它的到期年限相对较长而且还需纳50%的税率，相对于其他证券类型这显然是不理想的；对于D证券它的税前收益相对较低也是不理想的；而A证券和C证券信用等级、到期年限都是较低的税前收益也可以（A证券还可以免税）；E证券信用等级较低，但到期年限较短可以适量投资。所以我们认为这一优化模型是合理的。模型建立：对于问题2：该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，这样需要用总利润减去借贷利息所得值才为该经理的纯利润。我们建立了以下线性优化模型：即：Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0F=100T=0 模型整理得： MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5=04X1+10X2-X3-2X4-3X5=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0FR，说明投入100万元所得的收益为负值该经理不应贷款投资。模型建立：对于问题3：第一种情形：在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把A证券的税前收益增加为4.5%，同样可以得到如下线性优化模型：即：Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0模型整理得： Max Z=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5=04X1+10X2-X3-2X4-3X5=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=30.27万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表： 表5五种证券类型最优投入的资金方法证券类型ABCDE投资金额 （万元）218.180736.36045.45第二种情形：在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8%，同样可以得到如下线性优化模型：即： Max Z=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.0480.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5=400S.t (2X1+2X2+X3+X4+5X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0模型整理得：Max Z=0.043X1+0.027X2+0.024X3+0.022X4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5=400S.t 6X1+6X2-4X3-X4+36X5=04X1+10X2-X3-2X4-3X5=0，X2=0，X3=0，X4=0，X5=0模型求解：（LINGO程序见附录）应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.42万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表： 表6 五种证券类型最优投入的资金证券类型ABCDE投资金额 （万元）336.0000648.0016.00对于第一种情形由运算结果分析，在证券A的税前收益增加为4.5%的情况下，对于X1，X3,X5的投入金额没有发生变化，只是总收益有所增加，所以该投资方案不需要改变。对于第二种运算结果分析，在证券C的税前收益减少为4.8%的情况下，对于证券投资的种类发生了变化，投资对象变为了X1(市政)、X4(政府2)、X5(市政2)，所以投资方案应改变。六、模型的优缺点优点：1.本文采用的方法，针对投资选择可能出现的情况建立了3个数学模型，所采用的方案能够对于实际的投资选择给出相应优化，本方案具有较强的通用性。 2.本方案也具有一般性，针对生活中的连续优化问题也得到了推广，如解决农业种植、渔业养殖的优化问题。3.所建线性规划模型简单易懂，方便使用。缺点：1.本文并未考虑到在金融危机发生的条件下能解决问题的方案。2.本文没有对月税前收益予以考虑。七、参考文献1、肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：西北工业大学出版社,2008.112、姜启源等编，数学模型，第3版，北京：高等教育出版社,2003.8 3吴礼斌，李柏年.数学实验与建模.北京.国防工业出版社.2007 4任立民. 线性规划在经济分析中的应用D. 牡丹江教育学院学报.20075、/dkll/Zhdkjz/16696.html源程序附录对于模型1： LINGO程序如下：Max=0.043*x1*y1+0.027*x2*y2+0.025*x3*y3+0.022*x4*y4+0.045*x5*y5;x2+x3+x4=400;x1+x2+x3+x4+x5=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;BIN(y1);BIN(y2);BIN(y3);BIN(y4);BIN(y5);运算结果：Rows= 10 Vars= 10 No. integer vars= 5 Nonlinear rows= 1 Nonlinear vars= 10 Nonlinear constraints= 0 Nonzeros= 35 Constraint nonz= 23 Density=0.318 No. : 6, Obj=MAX Single cols= 5 Local optimal solution found at step: 6 Objective value: 29.83636 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0.0000000 Y1 1.000000 2.045455 X2 0.0000000 0.0000000 Y2 1.000000 0.0000000 X3 736.3636 0.0000000 Y3 1.000000 0.0000000 X4 0.0000000 0.0000000 Y4 1.000000 0.0000000 X5 45.45455 0.0000000 Y5 1.000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.83636 0.6181818E-03 2 336.3636 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 -0.4547474E-12 0.0000000 5 -0.2273737E-12 0.0000000 6 218.1818 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 736.3636 0.0000000 9 0.0000000 0.0000000 10 45.45455 0.0000000对于模型2：LINGO程序如下：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-t*f*0.0275;x2+x3+x4=400;x1+x2+x3+x4+x5=1000+f;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;f=100;t=1;运算结果：Rows= 6 Vars= 6 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 29 Constraint nonz= 20( 11 are +- 1) DensitZ=0.690 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. : 1, Obj=MAX, GUBs =400;x1+x2+x3+x4+x5=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;运算结果：Rows= 5 Vars= 5 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 25 Constraint nonz= 18( 9 are +- 1) DensitZ=0.833 Smallest and largest elements in abs value= 0.220000E-01 1000.00 No. : 1, Obj=MAX