2专题二：万有引力定律.doc

专题一：万有引力定律与航天夯实基础知识1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。2万有引力定律(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。（1687年）叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m，有（式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到。(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，r是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F近为无穷大。注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力(3) 地球自转对地表物体重力的影响。重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F向=mRcos2（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，其方向与支持力N反向，应竖直向下，而不是指向地心。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极R逐渐减小，向心力mRcos2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g也逐渐增大。OONF心mF引mg甲在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有FF向m2g，所以m2g=F一F向Gm2R自2 。物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力，此时物体的重力mgNF引。NoF引丙NF引o乙综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即mg 说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。3.万有引力定律的应用： 基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F万=F心方法：轨道上正常转：地面附近：G= mg GM=gR2 (黄金代换式) （1）天体表面重力加速度问题通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2gG， g=GM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h）2，比较得gh=（）2g设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由mg=得g=，由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为（2）计算中心天体的质量某星体m围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则：由得：例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。（3）计算中心天体的密度=由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M若知道行星的半径则可得行星的密度（4）发现未知天体用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的。4.人造地球卫星这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。（1）卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。（2）原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有实际是牛顿第二定律的具体体现（3）表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：向心加速度与r的平方成反比：=当r取其最小值时，取得最大值。a向max=g=9.8m/s2线速度v与r的平方根成反比：v=当h，v当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值。 vmax=7.9km/s角速度与r的三分之三次方成百比：=当h，当r取其最小值地球半径R时，取得最大值。max=1.23103rad/s周期T与r的二分之三次方成正比：T=2当h，T当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值。 Tmin=2=284 min卫星的能量：(类似原子模型)r增v减小(EK减小1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。答案：（1）；（2）,解析：本题考查万有引力部分的知识.（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,而r是球形空腔中心O至Q点的距离在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影：联立以上式子得：,（2）由式得,重力加速度反常的最大值和最小值分别为：由题设有： 、联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为：,例题5：我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信息,让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1,月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响).答案： 解析：如右图所示,O和O分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上,A是地月连心线OO与地月球面的公切线ACD的交点,D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点.根据对称性,过A点在另一侧作地月球面的公切线,交卫星轨道于E点.卫星在 说上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有：式中,T1是探月卫星绕月球转动的周期.由式得设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,应有：式中,=COA,=COB.由几何关系得： rcos=R-R1r1 cos =R1由式得例题5：(卫星回收的能量问题)“和平号”空间站已于今年3月23日成功地坠落在南太平洋海域，坠落过程可简化为从一个近圆轨道（可近似看作圆轨道）开始，经过与大气摩擦，空间站的绝大部分经过了升温、熔化，最后汽化而销毁，剩下的残片坠入大海，此过程中，空间站原来的机械能中，除一部分用于销毁和一部分被残片带走外,还有一部分残片能量E通过其它方式散失(不考虑坠落过程中化学反应的能量) (1)试导出用下列各物理量的符号表示散失能量E的公式(2)算出E的数值（结果保留两位有效数字）坠落开始时空间站的质量1.17; 轨道离地面的高度为=146；地球半径6； 坠落空间范围内重力加速度看作；入海残片的质量4； 入海残片的温度升高；入海残片的入海速度为声速V=340m/s； 每销毁一千克材料平均所需能量=1.0107J空间材料每一千克升温平均所需能量；解析(1)由题给条件,从近圆轨道到地面的空间中重力加速度g=10m/s2,若以地面为零势能面,坠地过程开始时空间站在近圆轨道上的