北师大版选修22第一章 §3 反证法 .docx

学习目标1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.知识点一间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.常见的间接证明的方法是反证法.知识点二反证法1.反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q思考(1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？(2)反证法主要适用于什么情形？答案(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.知识点三反证法证明问题的步骤反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论.思考上述步骤中，第三步中所说的矛盾，通常指哪些？答案指推出的结果与已知公理矛盾、与定义矛盾、与定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾、及自相矛盾等情形.题型一用反证法证明结论否定的问题例1如图所示，ab，cd为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：ab，cd不能互相平分.证明连接ac，cb，bd，da，假设ab，cd互相平分，则四边形acbd为平行四边形，acbadb，cadcbd.四边形acbd为圆的内接四边形，acbadb180，cadcbd180，acb90，cad90，对角线ab，cd均为圆的直径，与已知条件矛盾，ab，cd不能互相平分.反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数.证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾.假设不成立，a，b，c不可能都是奇数.题型二用反证法证明唯一性问题例2用反证法证明：过已知直线a外一点a只有一条直线b与已知直线a平行.证明假设过点a还有一条直线b与已知直线a平行，即bba，ba，又ba，由平行公理知bb.这与bba矛盾，故假设错误，所以过已知直线a外一点a只有一条直线b与已知直线a平行.反思与感悟证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.跟踪训练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面和一点p.求证：过点p与垂直的直线只有一条.证明如图所示，不论点p在内还是在外，设pa，垂足为a(或p).假设过点p不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线pb，设pa，pb确定的平面为，且a，于是在平面内过点p有两条直线pa，pb垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立.题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题例3用反证法证明：如果函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.(不考虑重根)证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实数根，设，为它的两个实数根，则f()f()0.因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()，这与f()f()0矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.反思与感悟用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.跟踪训练3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立.证明假设2和2都不成立，则有2和2同时成立.x0且y0，1x2y，且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，xy2，这与已知条件xy2相矛盾，2与2中至少有一个成立.因反证法中的反设不当致误例4用反证法证明：若ab0，则.错解假设不成立，则.若，则ab，与已知ab矛盾.故假设不成立，结论成立.错因分析的否定应为，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误.正解假设不成立，则.若，则ab，与已知ab矛盾；若，则ab，与已知ab矛盾.故假设不成立.所以成立.防范措施在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.1.证明“在abc中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()a.三角形中至少有一个直角或钝角b.三角形中至少有两个直角或钝角c.三角形中没有直角或钝角d.三角形中三个角都是直角或钝角答案b2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()a.有一个内角小于60b.每一个内角都小于60c.有一个内角大于60d.每一个内角都大于60答案b3.“abc.ab d.ab或ab答案d4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()a.a不垂直于cb.a，b都不垂直于cc.abd.a与b相交答案d5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.证明假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nz)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)推理归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.一、选择题1.实数a，b，c满足abc0，则正确的说法是()a.a，b，c都是0 b.a，b，c都不为0c.a，b，c中至少有一个为0 d.a，b，c不可能均为正数答案d2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾.a. b. c. d.答案d3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()a.一定是异面直线 b.一定是相交直线c.不可能是平行直线 d.不可能是相交直线答案c