第2节　等差数列.doc

第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定1,10,15等差数列的基本运算2,3,4,5,12,13等差数列的性质6,7,8,9等差数列的单调性、最值及综合11,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017福建漳州质检)在数列an中,a1=2,an+1=an+2,Sn为an的前n项和,则S10等于(C)(A)90 (B)100(C)110(D)130解析:由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列,S10=102+10922=110.故选C.2.(2017安徽蚌埠二次质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,则a4等于(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:设等差数列an的公差为d,所以6a1+652d=24,9a1+982d=63,联立解得a1=-1,d=2,则a4=-1+32=5.故选B.3.(2017湖南长沙长郡中学临考训练)已知等差数列an满足an+1+an=4n,则a1等于(B)(A)-1(B)1(C)2(D)3解析:由题知a1+nd+a1+(n-1)d=4n,即2a1-d+2nd=4n取n=1,2组成方程组,解得d=2,a1=1.故选B.4.(2017江西南昌市二模)九章算术卷第六均输中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是:使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问题中的中间两节容量和是(C)(A)1升(B)2升(C)2升(D)3升解析:由题设可知容积成等差数列,且a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,3a1+21d=4,解之得a1=1322,d=766,所以a5+a6=2a1+9d=4722=2322.故选C.5.(2018湖北武汉调研)若等差数列an的前n项和Sn满足S4=4,S6=12,则S2等于(B)(A)-1(B)0(C)1(D)3解析:因为等差数列中S2,S4-S2,S6-S4以此成等差数列,则2(S4-S2)=S6-S4+S2,将S4=4,S6=12代入可求S2=0.故选B.6.(2017河北石家庄模考)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1-a5-a10-a15+a19=2,则S19的值为(C)(A)38 (B)-19(C)-38(D)19解析:由等差数列的性质可知a1-a5-a10-a15+a19=a1+a19-(a5+a15)-a10=-a10=2.即a10=-2.S19=19(a1+a19)2=19a10=-38.故选C.7.(2017江西上饶二模)已知数列an的前n项和记为Sn,满足a1=5,a8=83,且2an+1=an+an+2,要使得Sn取到最大值,则n等于(C)(A)13 (B)14(C)15或16(D)16解析:由于2an+1=an+an+2,故数列为等差数列,依题意有a8=a1+7d=5+7d=83,d=-13,所以Sn=na1+n(n-1)2d=-n26+31n6,由于Sn对应的函数图象,开口向下且对称轴为n=312,故n=15或16时取得最大值.故选C.8.(2017内蒙古鄂尔多斯模拟)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a7-13a5的值为(C)(A)8(B)12(C)16(D)72解析:由等差数列的性质a4+a12=a6+a10=2a8,则有5a8=120,即a8=24,又a7-13a5=13(3a7-a5)=13(2a8+a5-a5)=23a8=16.故选C.9.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=n-9n+3,则a7b7=.解析:由等差数列的性质可得,a7b7=a1+a13213b1+b13213=S13T13=13-913+3=14.答案:14能力提升(时间:15分钟)10.(2017北京海淀区模拟)已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2an+12=an+22+an2,则a6等于(C)(A)16(B)8(C)4(D)22解析:由2an+12=an+22+an2知,数列an2是等差数列,前两项为1,4,所以公差d=3,故a62=1+53=16,所以a6=4.故选C.11.(2017黑龙江大庆一中模拟)an是公差不为0的等差数列,满足a42+a52=a62+a72,则该数列的前10项和S10等于(C)(A)-10(B)-5(C)0 (D)5解析:设an的公差为d(d0),由a42+a52=a62+a72有a62-a42+a72-a52=0,(a6+a4)(a6-a4)+(a7+a5)(a7-a5)=0,所以有2d(a4+a5+a6+a7)=0,因为d0,所以a4+a5+a6+a7=0,a5+a6=0,故前10项和S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)=0.故选C.12.公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=a4,则的值为.解析:由题意有:a1+5d=3(a1+3d),所以a1=-2d.且=S10a4=10a1+1092da1+3d=10(-2d)+1092d-2d+3d=25.答案:2513.(2017河北衡水中学二次模拟)九章算术是我国古代一部重要的数学著作,书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是1 125里.良马第一天走103里,之后每天比前一天多走13里.驽马第一天走97里,之后每天比前一天少走0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇?”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为里.解析:由题设可知良马、驽马的速度都成等差数列.设良马的首项和公差a1=103,d=13,驽马的首项和公差分别b1=97,d=-0.5,设经过n天后相遇,则它们走过的路程满足103n+n(n-1)213+97n+n(n-1)2(-0.5)=1 1252,即n2+31n-360=0,解之得n=9,n=-40(舍去),所以驽马走过的路程是S=979+982(-0.5)=855.答案:85514.(2017江西省调研考试(四)定义区间x1,x2的长度为x2-x1,Sn为等差数列an的前n项和,且S4=4,S8=12,则区间S16,S2 020的长度为.解析:由等差数列的性质,得S4,S8-S4,S12-S8,S2 020-S2 016依次构成等差数列,因为S8-S4=12-4=8,所以S12-S8=12,S16-S12=16,解得S12=24,S16=40,则S4,S8-S4,S12-S8,S2 020-S2 016依次构成以4为首项,公差为4的等差数列,所以S4+S8-S4+S12-S8+S2 020-S2 016=5054+50550424=511 060,所以区间S16,S2 020的长度为S2 020-S16=511 060-40=511 020.答案:511 02015.(2017衡阳八中月考)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2,b