北师大版必修一 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件（39张）.ppt

6指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 学习目标1 了解指数增长 幂增长 对数增长的意义 重点 2 能结合具体实际问题 建立恰当函数模型 重 难点 知识点一三种函数模型的性质1 当a 1时 指数函数y ax在r上是增函数 对数函数y logax在 0 上是增函数 当00时 在 0 上是增函数 答案a 2 当x 4时 a 4x b log4x c x4的大小关系是 解析三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y log4x y x4 y 4x 当x 4时 b log44 1 a c 44 所以a b c的大小关系是b c a 答案b c a 知识点二三种函数的增长趋势当a 1时 指数函数y ax是 并且当a越大时 其函数值的增长就 当a 1时 对数函数y logax是 并且当a越小时 其函数值的增长就 当x 0 n 1时 幂函数y xn是 并且当x 1时 n越大其函数值的增长就 增函数 越快 增函数 越快 增函数 越快 预习评价 1 在函数y 3x y log3x y 3x y x3中增长速度最快的是 解析由指数函数 对数函数 幂函数 一次函数的增长差异可判断出y 3x的增长速度最快 答案y 3x 2 如图所示曲线反映的是 函数模型的增长趋势 解析由图像知 此函数的增长速度越来越慢 因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度 答案幂函数或对数型 知识点三三种函数的增长对比对数函数y logax a 1 增长最慢 幂函数y xn n 0 指数函数y ax a 1 增长的快慢交替出现 当x足够大时 一定有 ax xn logax 预习评价 1 在区间 0 上 当a 1 n 0时 是否总有logax1 n 0 x x0时 logax xn ax成立 2 能否举例说明 指数爆炸 增长的含义 提示如1个细胞分裂x次后的数量为y 2x 此为 指数增长 其 增长量 是成倍增加的 从图像上看出 存在x0 当x x0时 数量增加特别快 足以体现 爆炸 的效果 3 判断某个增函数增长快慢的依据是什么 提示依据是自变量每改变一个单位 函数值增长量的大小 增长量越大 增长速度越快 题型一函数模型的增长差异 2 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数函数变化的变量是 答案 1 d 2 y2 规律方法在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 解析由于指数函数的增长是爆炸式增长 则当x越来越大时 函数y 2014 2x的增长速度最快 故选d 答案d 例2 某地西红柿从2月1日起开始上市 通过市场调查 得到西红柿种植成本y 单位 元 102kg 与上市时间x 单位 天 的数据如下表 题型二函数模型的选择问题 1 根据上述表格中的数据 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系 y ax b y ax2 bx c y a bx y alogax 2 利用你选取的函数 求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本 解 1 由表格中数据可知 种植成本不是常函数 a 0 而此时y ax b y a bx y alogax均为单调函数 规律方法1 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型 也就是借助数据信息 得到相关方程 进而求出待定参数 2 函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容 解题的关键在于通过对已知数据的分析 得出重要信息 根据解题积累的经验 从已有的各类型函数中选择模拟 进行数据的拟合 训练2 某汽车制造商在2013年初公告 随着金融危机的解除 公司计划2013年生产目标定为43万辆 已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示 如果我们分别将2010 2011 2012 2013定义为第一 二 三 四年 现在你有两个函数模型 二次函数模型f x ax2 bx c a 0 指数函数模型g x a bx c a 0 b 0 b 1 哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系 例3 函数f x 2x和g x x3的图像如图所示 设两函数的图像交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图像 判断f 6 g 6 f 2011 g 2011 的大小 函数f x 2x和g x x3的图像如图所示 设两函数的图像交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图像 判断f 6 g 6 f 2011 g 2011 的大小 解 1 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 2x 2 因为f 1 g 1 f 2 g 10 所以1x2 从图像上可以看出 当x1x2时 f x g x 所以f 2011 g 2011 又因为g 2011 g 6 所以f 2011 g 2011 g 6 f 6 迁移1 改变条件 若将 函数f x 2x 改为 f x 3x 又如何求解 1 呢 解由图像的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 3x 迁移2 改变问法 本例条件不变 2 中结论若改为 试结合图像 判断f 8 g 8 f 2015 g 2015 的大小 解因为f 1 g 1 f 2 g 10 所以1x2 从图像上可以看出 当x1x2时 f x g x 所以f 2015 g 2015 又因为g 2015 g 8 所以f 2015 g 2015 g 8 f 8 迁移3 改变条件 改变问法 函数f x lgx g x 0 3x 1的图像如图所示 1 试根据函数的增长差异指出曲线c1 c2分别对应的函数 2 比较两函数的增长差异 以两图像交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解 1 曲线c1对应的函数为g x 0 3x 1 c2对应的函数为f x lgx 2 当0f x 当x1g x 当x x2时 g x f x 当x x1或x x2时 g x f x 规律方法由图像判断指数函数 对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数 对数函数和幂函数时 通常是观察函数图像上升得快慢 即随着自变量的增长 图像最 陡 的函数是指数函数 图像趋于平缓的函数是对数函数 1 下列函数中 增长速度最慢的是 a y 6xb y log6xc y x6d y 6x解析对数函数增长的速度越来越慢 故选b 答案b 课堂达标 2 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10 4 要增长到原来的x倍 需经过y年 则函数y f x 的图像大致是 解析设该林区的森林原有蓄积量为a 由题意得 ax a 1 0 104 y 故y log1 104x x 1 y f x 的图像大致为d中图像 答案d 3 当a 1时 有下列结论 指数函数y ax 当a越大时 其函数值的增长越快 指数函数y ax 当a越小时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越大时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越小时 其函数值的增长越快 其中正确的结论是 答案 4 某种产品每件80元 每天可售出30件 如果每件定价120元 则每天可售出20件 如果售出件数是定价的一次函数 则这个函数解析式为 5 2003年我国国民生产总值为a亿元 如果平均每年增长8 那么经过多少年我国国民生产总值是2003年的2倍 lg2 0 3010 lg1 08 0 0334 精确到1年 解设经过x年 国民生产总值是2003年的2倍 经过1年 总产值为a 1 8 经过2年 总产值为 a 1 8 1 8 答约经过9年 我国国民生产总值是2003年的2倍 三种函数模型的表达式及其增长特点的总结 1 指数函数模型 表达式为f x abx c a b c为常数 a 0 当b 1时 增长特点是随着自