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空间向量的数量积运算 根据功的计算 我们定义了平面两向量的数量积运算 一旦定义出来 我们发现这种运算非常有用 它能解决有关长度和角度问题 1 两个向量的夹角的定义 类似地 可以定义空间向量的 数量积 两个向量的夹角是惟一确定的 2 两个向量的数量积 注 两个向量的数量积是数量 而不是向量 规定 零向量与任意向量的数量积等于零 a1 b1 b a 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 3 空间两个向量的数量积性质 注 性质 是证明两向量垂直的依据 性质 是求向量的长度 模 的依据 性质 是求向量的夹角 余弦值 公式 4 空间向量的数量积满足以下运算律 注 向量的数量积运算类似于多项式运算 平方差公式 完全平方公式 十字相乘等均成立 思考1 思考2 对于三个均不为0的数若则对于向量若能否写成也就是说向量有除法吗 思考3 对于三个均不为0的数对于向量成立吗 也就是说 向量的数量积满足结合律吗 练一练 练习2 如图 正三棱柱中 若则所成角的大小为多少 答案 另外 空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系 证两直线垂直经常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零 证明 如图 已知 求证 在直线l上取向量 只要证 为 逆命题成立吗 分析 同样可用向量 证明思路几乎一样 只不过其中的加法运算用减法运算来分析 分析 要证明一条直线与一个平面垂直 由直线与平面垂直的定义可知 就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直 例3 试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理 已知直线m n是平面内的两条相交直线 如果 m n 求证 m n 取已知平面内的任一条直线g 拿相关直线的方向向量来分析 看条件可以转化为向量的什么条件 要证的目标可以转化为向量的什么目标 怎样建立向量的条件与向量的目标的联系 证明 因为 同理 空
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