人教A版选修21 3.1.1 空间向量及其加减运算 课件（40张）.ppt

第三章空间向量与立体几何3 1空间向量及其运算3 1 1空间向量及其加减运算 定义 既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法 用有向线段表示 字母表示法 用字母a b等或者用有向线段的起点与终点字母表示 相等的向量 长度相等且方向相同的向量 复习平面向量 向量的加法 平行四边形法则 三角形法则 首尾相连 平面向量的加减法运算 向量的减法 三角形法则 减向量终点指向被减向量终点 看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量 但它们有些并不在同一平面内 这就是我们今天要学习的空间向量 1 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 2 了解空间向量的概念 3 掌握空间向量的加减运算 重点 1 空间向量在空间 我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 spacevector 向量的大小叫做向量的长度或模 modulus 探究点1概念 2 空间向量的表示 1 我们规定 长度为0的向量叫做零向量 zerovector 记为 当有向线段的起点a与终点b重合时 ab 2 模为1的向量称为单位向量 unitvector 3 两个向量不能比较大小 因为决定向量的两个因素是大小和方向 其中方向不能比较大小 提升总结 3 相反向量与向量长度相等而方向相反的向量 称为的相反向量 记为 4 相等向量 equalvector 方向相同且模相等的向量称为相等向量 1 空间的一个平移就是一个向量 2 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 3 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 提升总结 提示 空间任意两个向量都是共面向量 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示 给出以下命题 1 两个空间向量相等 则它们的起点 终点相同 2 若空间向量满足 则 3 在正方体中 必有 4 若空间向量满足 则 5 空间中任意两个单位向量必相等 其中不正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 c 即时训练 1 空间向量的加减运算由于任意两个空间向量都能平移到同一空间 所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同 探究点2空间向量的加减运算 空间向量如何进行运算 a b a b a b o a b c 加法 ob oa ab a b 减法 ca oa oc a b 2 空间向量的加法运算律 1 加法交换律a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 你能证明下列性质吗 证明加法交换律 a a b a b o a b c b 因为oa cb a ab oc b 所以a b b a 证明加法结合律 因为oc ob bc oa ab bc a b c oc oa ac oa ab bc a b c 所以 a b c a b c 1 空间向量的运算就是平面向量运算的推广 2 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 3 空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加 3 对空间向量的加减法的说明 4 扩展 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量 即 2 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 即 常用关系与常用数据 abc中 以a b为邻边的平行四边形中 a b表示平行四边形的对角线 0 a a 已知平行六面体abcd a b c d 化简下列向量表达式 并标出化简结果的向量 即时训练 解 提升总结始点相同的三个不共面向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量 答案 2 如图所示 以长方体abcd a1b1c1d1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中 1 试写出与相等的所有向量 2 试写出的相反向量 3 若ab ad 2 aa1 1 求向量的模 解题探究 1 判断两个向量是否相等的关键是什么 提示 判断两个向量是否相等的关键是判断这两个向量的大小和方向是否都相同 2 典例2中长方体的12条棱之间有什么位置关系和大小关系 长方体的体对角线长度如何计算 提示 12条棱可分为三组 每一组中四条棱互相平行且相等 如aa1 bb1 cc1 dd1平行且相等 若长方体共顶点的三条棱长分别为a b c 则长方体的体对角线长度为 2 1 与向量相等的所有向量 除它自身之外 有共3个 2 向量的相反向量为 3 d 提升总结1 两个向量的模相等 则它们的长度相等 但方向不确定 即两个向量 非零向量 的模相等是两个向量相等的必要不充分条件 2 熟练掌握空间向量的有关概念 向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键 a b m c g d 4 空间四边形abcd中 m g分别是bc cd边的中点 化简 a b m c g d 2 原式 化简空间向量的常用思路 1 分组 合理分组 以便灵活利用三角形法则 平行四边形法则进行化简 2 多边形法则 在空间向量的加法运算中 若是多个向量求和 还可利用多边形法则 若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和 3 走边路 灵活运用空间向量的加法 减法法则 尽量走边路 即沿几何体的边选择途径 字母表示法 向量的大小 平面向量 空间向量 具有大小和方向的量 在空间 具有大小和方向的量 几何表示法 几何表示法 字母表示法 向量的大小 空间向量的基本概念 平面向量 空间向量 长度为零的向量 长度为零的向量 模为1的向量 模为1的向量 长度相等且方向