连续型随机变量.ppt

引例 靶子是半径2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 求X的分布函数 解 若x 0 则 X x 是一个不可能事件 于是 若0 x 2 由题意得 若x 2 则有 所以 2 连续型随机变量 下页 易证 F x 是一个连续函数 可表示为 其中 引例中随机变量X具有下列特点 一是X可在某个区间内连续取值 二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示 具有这些特点的随机变量 即为连续型随机变量 引例 靶子是半径2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 求X的分布函数 下页 2 连续型随机变量 一 定义 设F x 为随机变量X的分布函数 若存在非负可积函数f x 使得 则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称为概率密度或密度函数或密度 二 性质 1 f x 0 下页 二 性质 4 在f x 的连续点处有 5 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0 为连续函数 2 连续型随机变量 问题 那么是否是不可能事件 由性质 5 可得 概率为0 1 的事件未必不发生 发生 由P A 0 不能推出 由P B 1 不能推出B 例1 设随机变量X的密度函数为 求 1 常数A 3 分布函数F x 解 1 由于f x 是一个密度函数 由 解得A 2 3 注 1 若概率密度中含有待定常数 可由确定 2 取值于某区间的概率等于其密度函数在对应区间的积分 2 连续型随机变量 下页 例1 设随机变量X的密度函数为 求 1 常数A 3 分布函数F x 当0 x 1时 当1 x 2时 当x 2时 说明 注意分布函数的自变量取值范围的划分 下页 例2 设连续型随机变量的分布函数为 求 1 X的密度函数f x 2 P 1 X 2 解 2 P 1 X 2 F 2 F 1 分布函数为 下页 一 均匀分布如果随机变量X的概率密度为 分布函数为 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 得 X落在 a b 内任一小区间 c d 内的概率与该小区间的长度成正比 而与该小区间的位置无关 三 常见连续型随机变量的分布 下页 例3 设随机变量X在 2 8 上服从均匀分布 求二次方程y2 2Xy 9 0有实根的概率 解 方程有实根等价于4X2 36 0 即X 3或X 3 由于X服从均匀分布 故X的概率密度为 从而 P y2 2Xy 9 0有实根 P X 3 P X 3 下页 二 指数分布 其中 0是常数 则称X服从参数为 的指数分布 分布函数为 若随机变量X的密度函数为 2 连续型随机变量 下页 例 指数分布通常用来描述 寿命 的分布 电子元件的寿命 生物的寿命 电话的通话时间 机器的修理时间 营业员为顾客提供的服务时间 指数分布广泛应用于可靠性理论和排队论 若X 则 故又把指数分布称为 永远年轻 的分布 指数分布的 无记忆性 事实上 命题 例4 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 单位 分 服从参数 1 5的指数分布 等待服务时间若超过10分钟 顾客就会离去 若其一个月到银行5次 以Y表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数 写出Y的分布律 并求P Y 1 解 p P X 10 1 P X 10 所以Y的分布律为 下页 三 正态分布 1 定义若X的概率密度为 分布函数为 其中 0 为常数 则称X服从参数为 2的正态分布或高斯 Gauss 分布 记作X N 2 下页 各种测量的误差 人体的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线抗拉强度 热噪声电流强度 学生的考试成绩 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布 这可以由以下情形加以说明 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响 但其中任何一个因素都不起决定性作用 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质 这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布 2 正态分布的密度函数f x 的图形的性质 1 2 下页 关于对称 即 当时 当时 在处取极大值 3 拐点 f 水平渐近线 ox轴 图形向右平移 形状不变 小大 大小 图形向左平移 形状不变 小大 图形变平坦 大小 图形变陡峭 位置参数 形状参数 4 5 3 标准正态分布X N 0 1 当 0 1时 标准正态分布 下页 x x 4 查标准正态分布函数表计算概率 4 P X 1 54 1 P X 1 54 例5 设X N 0 1 计算P X 2 35 P 1 64 X 0 82 P X 1 54 P X 1 54 1 P X 2 35 2 35 0 9906 2 P 1 64 X 0 82 0 82 1 64 0 82 1 1 64 0 7434 3 P X 1 54 1 54 1 54 2 1 54 1 0 8764 下页 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 根据定理 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 1 2 5 正态分布函数查表计算 下页 例6 设X N 1 4 求 1 P X 2 2 P 2 X 5 3 P X 4 解 1 P X 2 1 P X 2 0 9332 1 1 5 1 5 0 9938 0 9332 0 0606 1 1 5 2 5 2 5 1 5 3 P X 4 1 P X 4 1 P 4 X 4 2 0 9772 0 6915 0 2857 下页 解 1 所求概率为P X 60 1 0 84 0 16 2 设一周内迟到次数为Y 离散型随机变Y B 5 0 16 所求概率为P Y 1 例7 某人上班所需的时间 单位 分 X N 50 100 已知上班时间为早晨8时 他每天7时出门 试求 1 某天迟到的概率 2 某周 以5天计 最多迟到一次的概率 下页 例8 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 解 设车门高度为hcm 按设计要求