苏教版必修一 2.2.2 函数的奇偶性 课件（43张）.ppt

2 2 2函数的奇偶性 学习目标理解函数奇偶性的定义 难点 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 重点 3 会应用奇 偶函数图象的对称性解决简单问题 重 难点 知识点一函数奇偶性的概念 1 一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意的x a 都有f x 那么称函数y f x 是偶函数 如果对于任意的x a 都有f x 那么称函数y f x 是奇函数 2 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们就说函数f x 具有 f x f x 奇偶性 预习评价 1 函数y f x 在区间 2a 3 a 上具有奇偶性 则a 解析由题意知 区间 2a 3 a 关于原点对称 2a 3 a a 1 答案1 3 已知函数y f x 是r上的奇函数 且当x 0时 f x 1 则f 2 的值为 解析 当x 0时 f x 1 f 2 1 又f x 是奇函数 f 2 f 2 1 答案 1 知识点二奇函数 偶函数的图象特征 1 若一个函数是奇函数 则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形 反之 若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 若一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 若一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 预习评价 下列函数图象中 关于y轴对称的有哪些 关于原点对称的呢 提示 关于y轴对称 关于原点对称 知识点三奇偶性应用中常用结论 1 若函数f x 是奇函数 且0在定义域内 则必有f 0 0 2 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反 3 一次函数f x kx b k 0 为奇函数 b 0 二次函数f x ax2 bx c a 0 为偶函数 b 0 常数函数f x c c为常数 为偶函数 预习评价 若f x 为r上的奇函数 给出下列四个说法 f x f x 0 f x f x 2f x f x f x 0 1 其中一定正确的有 解析由奇函数的定义可知 一定正确 对 当x 0时 有f 0 0 所以 均不成立 答案 规律方法判断函数奇偶性的方法 1 定义法 若函数定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 若函数定义域关于原点对称 则应进一步判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于0 从而确定奇偶性 2 图象法 若函数图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 3 分段函数的奇偶性应分段说明f x 与f x 的关系 只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时 才能判定函数的奇偶性 题型二利用函数的奇偶性求值 例2 已知f x ax5 bx3 cx 8 且f d 10 求f d 解方法一f d ad5 bd3 cd 8 f d a d 5 b d 3 c d 8 ad5 bd3 cd 8 得f d f d 16 f d 10 f d 16 10 26 方法二设g x ax5 bx3 cx 则g x 为奇函数 由题意可得f d g d 8 10 g d 18 又f d g d 8 且g x 为奇函数 g d g d f d g d 8 18 8 26 规律方法解决这类由奇偶性求值问题 应先分析给定函数特点 把原函数化为一个奇函数 或偶函数 g x 和一个常数的和 然后借助奇函数 或偶函数 的性质求出g d 也可以通过两式相加 或相减 达到正负抵消 从而使问题得解 训练2 函数f x x5 ax3 bx 2 且f 3 1 则f 3 解析令g x x5 ax3 bx 易知g x 为奇函数 从而g 3 g 3 又因为f x g x 2 f 3 1 所以g 3 1 所以g 3 1 所以f 3 g 3 2 1 2 3 答案3 题型三奇 偶 函数图象的对称性的应用 例3 定义在r上的奇函数f x 在 0 上的图象如图所示 1 画出f x 的图象 2 解不等式xf x 0 解 1 先描出 1 1 2 0 关于原点的对称点 1 1 2 0 连线可得f x 的图象如下图 2 xf x 0即图象上横坐标 纵坐标同号 结合图象可知 xf x 0的解集是 2 0 0 2 规律方法鉴于奇 偶 函数图象关于原点 y轴 对称 可以用这一特性去画图 求值 求解析式 研究单调性 规律方法 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为奇函数 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为偶函数 2 两个性质 函数为奇函数 它的图象关于原点对称 函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 3 证明一个函数是奇函数 必须对f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 而证明一个函数不是奇函数 只要能举出一个反例就可以了 4 如果知道函数的奇偶性和一个区间 a b 上的解析式 那么就可以设出关于原点对称区间 b a 上任一点 x y 通过关于原点 或y轴 的对称点 x y 或 x y 满足的关系式间接找到 x y 所满足的解析式 5 奇偶性对单调性的影响 若奇函数f x 在 a b 上是单调增函数 且有最大值m 则f x 在 b a 上是单调增函数 且有最小值 m 若偶函数f x 在 0 上是单调减函数 则f x 在 0 上是单调增函数 2 已知函数f x 是奇函数 函数g x f x x2 若g 3 10 则g 3 的值为 解析由题意可得g x f x x 2 f x x2 所以g x g x 2x2 再由g 3 10得g 3 8 答案8 3 若函数f x x2 m 1 x 3 x r 是偶函数 则m 解析 f x 为偶函数 f x f