人教B版选修11 直线与抛物线的位置关系 课时作业.doc

第9课时直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一 )1.直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于a、b两点,o为原点,则oaob的值为().a.12b.20c.-12d.-20【解析】焦点为(2,0),设直线l方程为x=my+2,a(x1,y1),b(x2,y2),由x=my+2,y2=8x,得y2-8my-16=0,y1y2=-16,x1x2=y128y228=164(y1y2)2=4,oaob=x1x2+y1y2=-12.【答案】c2.抛物线y2=4x的焦点为f,准线为l,经过点f且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a,akl,垂足为k,则akf的面积是().a.2b.4c.43d.8【解析】由抛物线的定义知af=ak,又kaf=60,所以afk是正三角形.联立方程组y2=4x,y=3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.由题意得a(3,23),所以akf的边长为4,面积为12423=43.【答案】c3.已知ab是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|ab|=4,则ab的中点的纵坐标是().a.1b.2c.58d.158【解析】如图所示,设ab的中点为p(x0,y0),分别过a,p,b三点作准线l的垂线,垂足分别为a,q,b,由题意得|aa|+|bb|=|ab|=4,|pq|=|aa|+|bb|2=2,又|pq|=y0+18,y0+18=2,y0=158.【答案】d4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q,若过点q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是().a.-12,12b.-2,2c.-1,1d.-4,4【解析】由题意知,抛物线准线方程为x=-2,点q(-2,0),设直线l:y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为(0,0),当k0时,0,-1k0或00)的准线为l,过点m(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点a,与抛物线的一个交点为b,若am=mb,则p=.【解析】由题知准线l为x=-p2(p0),过点m且斜率为3的直线为y=3(x-1),则点a-p2,3-p2-1,设b(x,y),由am=mb可知m为ab的中点,又m(1,0),所以-p2+x=2,3-p2-1+y=0,即x=2+p2,y=3p2+1,代入y2=2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).【答案】27.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于a,b两点.(1)求证:oaob.(2)当oab的面积为10时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由y2=-x,y=k(x+1)消去x得ky2+y-k=0.设点a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-1k.a,b两点均在抛物线y2=-x上,y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.又koakob=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,oaob.(2)设直线与x轴交于点n,显然k0.令y=0,得x=-1,即n(-1,0).soab=soan+sobn=12|on y1|+12|on y2|=12|on|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4.=10,10=121k2+4,解得k=16.拓展提升(水平二)8.已知f为抛物线y2=x的焦点,点a,b在该抛物线上且位于x轴的两侧,oaob=2(其中o为坐标原点),则abo与afo面积之和的最小值是().a.2b.3c.1728d.10【解析】设直线ab的方程为x=ty+m,点a(x1,y1),b(x2,y2).又点f14,0,直线ab与x轴的交点m(m,0),不妨设y10,由x=ty+m,y2=xy2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又oaob=2,所以x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点a,b在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2,所以sabo+safo=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1298y12y1=3,当且仅当98y1=2y1y1=43时取“=”.所以abo与afo面积之和的最小值是3.【答案】b9.已知抛物线y2=8x,点q是圆c:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点,记抛物线上任意一点p到直线x=-2的距离为d,则|pq|+d的最小值为().a.5b.4c.3d.2【解析】由题意知,抛物线y2=8x的焦点为f(2,0),连接pf(如图),则d=|pf|.将圆c化为(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为c(-1,4),半径为r=2,则|pq|+d=|pq|+|pf|,于是有|pq|+|pf|fq|(当且仅当f,p,q三点共线时取得等号).而|fq|为圆c上的动点q到定点f的距离,显然当f,q,c三点共线时,|fq|取得最小值,且为|cf|-r=(-1-2)2+(4-0)2-2=3,故选c.【答案】c10.已知抛物线y2=4x的弦ab的中点的横坐标为2,则|ab|的最大值为.【解析】当直线ab的斜率不存在时,|ab|=42;当直线ab的斜率k存在时,设点a(x1,y1),b(x2,y2),中点坐标为(2,t),则k=y1-y2y12-y224=4y1+y2=2t,直线ab的方程为y-t=2t(x-2),将y-t=2t(x-2)与y2=4x联立,得y2-2ty+2t2-8=0,y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,|ab|2=1+t24(y1-y2)2=-(t2-2)2+3636,|ab|6,当且仅当t=2时,等号成立.综上所述,|ab|max=6.【答案】611.设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,经过点f的直线与抛物线交于a,b两点.(1)若p=2,求线段af的中点n的轨迹方程;(2)若直线ab的斜率为2,当焦点为f12,0时,求oab的面积;(3)若m是抛物线c准线上的点,求证:直线ma,mf,mb的斜率成等差数列.【解析】(1)焦点f(1,0),设点a(x0,y0),n(x,y),则由题意x=x0+12,y=y02,即x0=2x-1,y0=2y,故所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2) y2=2x,f12,0,直线ab:y=2x-12=2x-1,由y2=2x,y=2x-1,得y2-y-1=0,|ab|=1+1k2|y1-y2|=52,设d为原点o到直线ab的距离,d=15=55,soab=12d|ab|=54.(3)显然直线ma,mb,mf的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3.点a,b,m的坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),m-p2,m.设直线ab:y=kx-p2,代入抛物线方程,得y2-2pky-p2=0,所以y1y2=-p2.又y12=2px1,y22=2px2,所以x1+p2=y122p+p2=12p(y12+p2),x2+p2=y222p+