人教B版选修11 第二章 圆锥曲线与方程 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于定长(大于|f1f2|)的点的轨迹平面内到两个定点f1，f2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|f1f2|)的点的轨迹平面内到一个定点f和一条定直线l(fl)的距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2椭圆的焦点三角形设p为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，f1，f2为焦点且f1pf2，则pf1f2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积sb2tan .(2)焦点三角形的周长l2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx.(2)如果双曲线的渐近线方程为0，它的双曲线方程可设为(0)4求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0且mn)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小5直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.类型一圆锥曲线的定义及应用例1已知椭圆y21(m1)和双曲线y21(n0)有相同的焦点f1，f2，p是它们的一个交点，则f1pf2的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d随m，n变化而变化考点椭圆与双曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用答案b解析设p为双曲线右支上的一点对于椭圆y21(m1)，c2m1，|pf1|pf2|2，对于双曲线y21，c2n1，|pf1|pf2|2，|pf1|，|pf2|，|f1f2|2(2c)22(mn)，而|pf1|2|pf2|22(mn)(2c)2|f1f2|2，f1pf2是直角三角形，故选b.反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决跟踪训练1抛物线y22px(p0)上有a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)三点，f是它的焦点，若|af|，|bf|，|cf|成等差数列，则()ax1，x2，x3成等差数列by1，y2，y3成等差数列cx1，x3，x2成等差数列dy1，y3，y2成等差数列考点抛物线的定义题点抛物线定义的其他应用答案a解析如图，过a，b，c分别作准线的垂线，垂足分别为a，b，c，由抛物线定义可知|af|aa|，|bf|bb|，|cf|cc|.2|bf|af|cf|，2|bb|aa|cc|.又|aa|x1，|bb|x2，|cc|x3，2x1x3，得2x2x1x3，故选a.类型二圆锥曲线的方程及几何性质命题角度1求圆锥曲线的方程例2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于a，b两点，o为坐标原点若双曲线的离心率为2，aob的面积为，则p等于()a1 b. c2 d3考点求圆锥曲线的方程题点求圆锥曲线的方程答案c解析双曲线1的渐近线方程为yx，y22px的准线方程为x.双曲线的离心率为2，e 2，即，渐近线方程为yx，由得yp，|ab|p，soabp，解得p2.反思与感悟一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0且mn)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系跟踪训练2设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点a(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案c解析由抛物线c的方程为y22px(p0)，知焦点f.设m(x，y)，由抛物线性质|mf|x5，可得x5.因为圆心是mf的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为.由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则m点纵坐标为4，则m，代入抛物线方程得p210p160，所以p2或p8.所以抛物线c的方程为y24x或y216x.命题角度2求圆锥曲线的离心率例3如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是_考点圆锥曲线的综合应用题点求圆锥曲线的离心率答案解析由椭圆可知|af1|af2|4，|f1f2|2.因为四边形af1bf2为矩形，所以|af1|2|af2|2|f1f2|212，所以2|af1|af2|(|af1|af2|)2(|af1|2|af2|2)16124，所以(|af2|af1|)2|af1|2|af2|22|af1|af2|1248，所以|af2|af1|2，因此对于双曲线有a，c，所以c2的离心率e.反思与感悟求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观跟踪训练3已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于a，b两点，点f为抛物线的焦点，若fab为直角三角形，则该双曲线的离心率是_考点圆锥曲线的综合应用题点求圆锥曲线的离心率答案解析抛物线y24x的准线方程为x1，又fab为直角三角形，则只有afb90，如图，则a(1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2，于是c.故e.类型三直线与圆锥曲线的位置关系例4已知椭圆1(ab0)上的点p到左、右两焦点f1，f2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点f2的直线l交椭圆于a，b两点，若y轴上一点m满足|ma|mb|，求直线l的斜率k的值考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆位置关系的综合应用解(1)由题意知，|pf1|pf2|2a2，所以a.又因为e，所以c1，所以b2a2c2211，所以椭圆的标准方程为y21.(2)已知f2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程得化简得(12k2)x24k2x2k220，16k44(12k2)(2k22)0，所以x1x2，y1y2k(x1x2)2k.所以ab的中点坐标为.当k0时，ab的中垂线方程为y，因为|ma|mb|，所以点m在ab的中垂线上，将点m的坐标代入直线方程得，即2k27k0，解得k或k；当k0时，ab的中垂线方程为x0，满足题意所以斜率k的取值为0，或.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练4如图，焦距为2的椭圆e的两个顶点分别为a，b，且与n(，1)共线(1)求椭圆e的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆e有两个不同的交点p和q，且原点o总在以pq为直径的圆的内部，求实数m的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆位置关系的综合应用解(1)因为2c2，所以c1.又(a，b)，且n，所以ba，所以2b2b21，所以b21，a22.所以椭圆e的标准方程为y21.(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，把直线方程ykxm代入椭圆方程y21，消去y，得(2k21)x24kmx2m220，所以x1x2，x1x2.16k28m280，即m22k21.(*)因为原点o总在以pq为直径的圆的内部，所以0，即x1x2y1y20.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.由0，得m2k2.依题意且满足(*)得，m2，故实数m的取值范围是.1在方程mx2my2n中，若mn0，则方程表示()a焦点在x轴上的椭圆b焦点在x轴上的双曲线c焦点在y轴上的椭圆d焦点在y轴上的双曲线考点圆锥曲线方程的应用题点圆锥曲线方程的应用答案d解析方程mx2my2n可化为y2x21.mn0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()a.1 b.1c.1 d.1考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与抛物线的综合应用答案b解析y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，mn且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆方程为1.4有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()a2p b4pc6p d8p考点抛物线的几何性质题点抛物线性质的综合问题答案b解析设a，b在y22px上，另一个顶点为o，则a，b关于x轴对称，则aox30，则oa方程为yx.由得y2p.aob的边长为4p.5过抛物线y24x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于p，q两点，o为坐标原点，则poq的面积为_考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线位置关系的综合应用答案2解析设p(x1，y1)，q(x2，y2)，f为抛物线的焦点由消去x，得y24y40，|y1y2|4.spoq|of|y1y2|2.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题一、选择题1方程1所表示的曲线是()a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆c焦点在x轴上的双曲线d焦点在y轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线类型答案d解析sin 10，方程表示焦点在y轴上的双曲线2.如图所示，共顶点的椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为()ae1e2e3e4be2e1e3e4ce1e2e4e3de2e1e4e3考点圆锥曲线的综合应用题点比较离心率的大小答案c解析由椭圆的离心率小于双曲线的离心率知e1，e2e3，e4.对椭圆，越扁离心率越大，e1e2；对双曲线，开口越大，离心率就越大，e4e3.故e1e2e4b0)的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为b.若|bf2|f1f2|2，则该椭圆的方程为()a.1 b.y21c.y21 d.y21考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程答案a解析|bf2|f1f2|2，a2c2，a2，c1，b，椭圆的方程为1.4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为p(3,4)，则此双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1考点双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线方程答案c解析由已知条件，得2r|f1f2|2c，即rc，而r|op|5.渐近线方程为yx，点p(3,4)在直线yx上，所以解得所以双曲线方程为1.5已知曲线1和直线axby10(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图象可能为()考点圆锥曲线的综合应用题点由曲线类型判断图象答案c解析直线axby10，与x轴的交点为，与y轴的交点为，在图a，b中，曲线表示椭圆，则ab0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合在图c，d中，a0，b0)的焦点f，且与y轴相交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_考点抛物线的焦点弦问题题点已知三角形面积求方程答案y28x解析依题意得|of|，又直线l的斜率为2，可知|ao|2|of|，aof的面积等于|ao|of|4，则a264.又a0，所以a8，所以抛物线的方程是y28x.9.如图所示，已知抛物线y22px(p0)的焦点恰好是椭圆1的右焦点f，且两条曲线的交点连线也过焦点f，则该椭圆的离心率为_考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与抛物线的综合应用答案1解析设椭圆的左焦点为f，抛物线与椭圆在第一象限的交点为a，连接af，f，f，可得焦距|ff|p2c(c，为椭圆的半焦距)对抛物线方程y22px，令x，得y2p2，所以|af|ya|p.在rtaff中，|af|ff|p，可得|af|p，再根据椭圆的定义，可得|af|af|2a(1)p，该椭圆的离心率为e1.10点p在椭圆x21上，点q在直线yx4上，若|pq|的最小值为，则m_.考点直线与椭圆的位置关系题点最值问题答案3解析根据题意，与直线yx4平行且距离为的直线方程为yx2或yx6(舍去)，联立消去y，得(m1)x24x4m0，令164(m1)(4m)0，解得m0或m3，m0，m3.11已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为a，抛物线x22py(p0)的焦点为f.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|fa|c，则双曲线的渐近线方程为_考点圆锥曲线的综合应用题点双曲线与抛物线的综合应用答案yx解析抛物线的准线方程为y，焦点为f，a22c2.设抛物线的准线y交双曲线于m，n两点，即1，解得xa，2a2c.又b2c2a2，由，得2.11，解得1.双曲线的渐近线方程为yx.三、解答题12如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形abcd的一边ab在x轴上，另一边cd在x轴上方，且ab8，bc6，其中a(4，0)，b(4,0)(1)若a，b为椭圆的焦点，且椭圆经过c，d两点，求该椭圆的方程；(2)若a，b为双曲线的焦点，且双曲线经过c，d两点，求双曲线的方程考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用解(1)a，b为椭圆的焦点，且椭圆经过c，d两点，根据椭圆的定义，|ca|cb|162a，a8.在椭圆中，b2a2c2641648，椭圆方程为1.(2)a，b是双曲线的焦点，且双曲线经过c，d两点，根据双曲线的定义，|ca|cb|42a，a2.在双曲线中，b2c2a216412，双曲线方程为1.13已知椭圆e：1(ab0)的一个顶点a(0，)，离心率e.(1)求椭圆e的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆e相切于点p，且与直线x4相交于点q，求证：以pq为直径的圆过定点n(1，0)考点直线与椭圆的位置关系题点定点(定值)问题(1)解由已知，可得a24，所求椭圆方程为1.(2)证明联立方程1与ykxm，消去y，得(34k2