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文档简介

反证法教学设计教学目的：搞清函数的反证法，了解反证法是间接证明的一种方法，理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.教学重点：反证法的解题思想教学难点：反证法的解题步骤.教学过程：用反证法证明否定性命题例1 已知三个正数 成等比数列，但不成等差数列，求证：不成等差数列. 证明：假设 成等差数列，则即，而，即，即.从而，与不成等差数列矛盾，故不成等差数列.点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.二、用反证法证明唯一性问题例2 一点a和平面.求证：经过点a只能有一条直线和平面垂直.证明：根据点a和平面的位置关系，分两种情况证明.（1）如图（1），点a在平面内，假设经过点a至少有平面的两条垂线ab、ac，那么ab、ac是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点a的一条直线.因为平面，平面，所以，在平面内经过点a有两条直线都和直线垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.（2）如图（2），点a在平面外，假设经过点a至少有平面的两条垂线ab和ac（b、c为垂足），那么ab、ac是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线bc，因为平面，平面，所以.在平面内经过点a有两条直线都和bc垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点a只能有平面的一条垂线.三、用反证法证明“至多”或“至少”类问题.例3 已知，且，求证：方程和中，至少有一个方程有实根证明：假设两个一元二次方程都没有实根，那么它们的判别式都小于零，即，把代入上式，得，即。这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立。故这两个方程中，至少有一个方程有实根.点评；对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法.常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有个至多有个反设词一个也没
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