人教B版选修22 1.3.2利用导数研究函数的极值 学案.doc

预习导航课程目标学习脉络1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件；2会求函数的极值；3会求函数在闭区间上的最值；4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.1函数的极值(1)已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点如果在x0附近都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义2求函数yf(x)极值的步骤第1步：求导数f(x)；第2步：求方程f(x)0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值如果在f(x)0的根xx0的左、右侧，f(x)的符号不变，则f(x0)不是极值思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)x3，虽有f(0)0，但x0并不是f(x)x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件(2)不一定，例如函数f(x)|x1|，它在x1处取得极小值，但它在x1处不可导，就更谈不上导数等于0了但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值点拨 函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值4求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f(x)0的点第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f(x)0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值思考3如果函数f(x)在闭区间a，b上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间a，b上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到当f(x)在闭区间a，b上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间a，b上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值点拨 函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时