苏教版必修4 1.3.1 三角函数的周期性 学案.docx

1.3.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yasin(x)及yacos(x)的周期知识点一周期函数思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由梳理(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个_t，使得定义域内的每一个x值 ，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个_，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考6是正弦函数ysin x(xr)的一个周期吗？梳理(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kz且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是.(3)函数yasin(x)和yacos(x)的周期一般地，函数yasin(x)和yacos(x)(其中a，为常数，且a0，0)的周期t.类型一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y3sin(x)；(2)y2cos()；(3)y|sin x|.反思与感悟求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法(2)公式法：对yasin(x)或yacos(x)(a，是常数，且a0，0)，有t.(3)观察法(图象法)跟踪训练1(1)函数y3cos(x)的最小正周期为_(2)y2cos(x)的最小正周期为，则_.类型二利用周期求函数值例2若f(x)是以为周期的奇函数，且f 1，求f 的值反思与感悟(1)利用函数的周期性，可以把xnt(nz)的函数值转化为x的函数值(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题跟踪训练2定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f 的值类型三函数周期性的综合应用例3设f(x)是r上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，求f(7)的值引申探究将例3中的条件f(x2)f(x)改为：f(x)的图象关于x1对称，其余条件不变，求f(7)的值反思与感悟(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质跟踪训练3设函数f(x)(xr)是以2为周期的函数，且x0,2时，f(x)(x1)2.(1)求f(3)；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式1下列说法中，正确的是_(填序号)因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期；因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期；因为当x时，等式sin(x)sin x成立，所以是函数ysin x的一个周期；因为cos(x)cos x，所以不是函数ycos x的一个周期2函数f(x)sin(x)(0)的周期为，则_.3函数ycos的最小正周期为_4求下列函数的最小正周期(1)f(x)cos(2x)；(2)y4sin(ax)(a0)1函数周期性的理解：(1)对于“f(xt)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xt仍在定义域内且等式成立(2)周期函数的周期不是惟一的，如果t是函数f(x)的周期，那么kt(kz，k0)也一定是函数的周期(3)并不是所有周期函数都有最小正周期如常数函数f(x)c没有最小正周期2求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法(2)公式法：对yasin(x)或yacos(x)(a，是常数，且a0，0)，t.(3)观察法(图象法)三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.答案精析问题导学知识点一思考由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x故正弦函数和余弦函数也具有周期性梳理(1)非零的常数f(xt)f(x)(2)最小的正数知识点二思考是的由sin(6x)sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6是正弦函数ysin x(xr)的一个周期题型探究例1解(1)t4.(2)y2cos()2cos()，t4.(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.跟踪训练1(1)4(2)2例2解f(x)是以为周期的奇函数，f f f f f f()f()，又f()1，f()f()1.跟踪训练2例3解f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，f(7)f(81)f(1)f(1)又当0x1时，f(x)x，f(7)f(1)1.引申探究解函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)又函数f(x)的图象